Variedad diferenciable

En geometría y topología, una variedad diferenciable es un tipo especial de variedad topológica, a la que podemos extender las nociones de cálculo diferencial que normalmente usamos en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$. En una variedad diferenciable M podremos definir una función diferenciable ${displaystyle f:M ightarrow {}mathbb {R} }$ , y campos de tensores diferenciables (incluidos campos de vectores). El estudio del cálculo en variedades diferenciables se conoce como geometría diferencial.

Para un desarrollo informal del tema

Una variedad diferenciable representa una generalización, en dos aspectos básicos, del concepto de superficie diferenciable:

Antes de hacer la segunda generalización, podríamos pensar que una variedad es diferenciable, informalmente hablando, si cada uno de sus puntos tiene espacio tangente, es decir, no tiene "picos" ni "filos". Pero para hacer una definición formal necesitaremos que esta no haga alusión a un posible embebimiento de la variedad en un espacio ambiente.

Riemann, en el siglo XIX, observó la importancia de definir la noción de variedad de un modo intrínseco, sin requerir que el espacio topológico subyacente estuviera embebido en un espacio afín. La definición formal precisa fue introducida por primera vez por Hermann Weyl en 1913.

Las variedades diferenciables aparecen en diversos campos de la Física:

Recordemos los conceptos de variedad topológica y de cartas:

Podríamos cuestionarnos cómo sería posible determinar si una función ${displaystyle f:M ightarrow {}mathbb {R} }$ definida en una variedad topológica es una función diferenciable. Aparentemente bastaría exigir que ${displaystyle fcirc varphi _{alpha }^{-1}}$, su expresión en un entorno coordenado sea diferenciable. Pero esta condición no sería consistente si realizamos un cambio de carta. En efecto, si observamos su expresión en otra carta:

necesitaremos para mantener la consistencia que el cambio de cartas representado por el último paréntesis sea diferenciable. Esta exigencia es la base de la definición de estructura diferenciable.

Dada una variedad topológica ${displaystyle M}$ y un número entero ${displaystyle rgeq 0}$, una estructura diferenciable (o atlas maximal) ${displaystyle F}$ de clase ${displaystyle r}$ sobre ${displaystyle M}$ es una familia ${displaystyle {(U_{lambda },varphi _{lambda }):lambda in Lambda }}$ de sistemas coordenados sobre ${displaystyle M}$ de manera que se cumpla que:

Se dice que el par ${displaystyle (M,F)}$ formado por la variedad topológica M de dimensión n y por la estructura diferenciable F de clase r es una variedad diferenciable de dimensión ${displaystyle n}$ y clase ${displaystyle r}$.

Hay una cierta confusión sobre la terminología variedad diferenciable (sin más especificaciones) y variedad suave. En cualquier caso, para evitar confusiones, todos los textos indican qué entienden por variedad diferenciable.

Es cualquier subconjunto de una variedad diferenciable que mediante la topología inducida de la variedad original sigue teniendo estructura de variedad diferenciable. En general las subvariedades diferenciables son los subconjuntos de puntos para los cuales es posible definir localmente una función diferenciable f que satisfaga:

${displaystyle f(p)=0, pin {mathcal {M}}}$

Los conjuntos no suaves, o que satisfaciendo una ecuación similar a la anterior pero donde f no fuera diferenciable en general no constituyen subvariedades diferenciables.

Muchas de las técnicas del cálculo multivariable son aplicables mutatis mutandis en variedades diferenciables. Podemos definir la derivada direccional de una función diferenciable en la dirección marcada por un vector tangente a la variedad. Dicha derivada se comportará de modo similar al de la derivada ordinaria de una función definida en el espacio euclídeo, al menos localmente: habrá versiones del teorema de la función implícita y de función inversa.

Sin embargo, la derivada direccional de un campo de vectores no estará definida de forma directa. Existen varias generalizaciones que captan ciertas características formales de la derivación en espacios euclídeos. Las principales son:

Las ideas del cálculo integral también pueden extenderse a las variedades diferenciables. Encontrarán su expresión natural en el lenguaje del cálculo exterior con formas diferenciables. Teoremas fundamentales del cálculo integral en varias variables, en particular el teorema de Green, el de la divergencia y el de Stokes se generalizan en un solo teorema llamado teorema de Stokes.

En una variedad abstracta, al no considerarse embebida en ningún espacio ambiente, no podremos visualizar el espacio tangente como un subespacio afín del ambiente. La generalización del concepto de espacio tangente requerirá concebir los vectores tangentes como operadores que representan una derivada direccional.

En ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ podemos visualizar un vector ${displaystyle X_{p}=(a^{1},cdots ,a^{n})}$ como un operador ${displaystyle X_{p}:C^{infty }(p)longrightarrow mathbb {R} }$ que actúa sobre una función ${displaystyle fin C^{infty }(p)}$ diferenciable en un entorno cualquiera de p, y nos devuelve su derivada en la dirección marcada por ${displaystyle X_{p}}$:

En los años 1960 surge la definición axiomática de vector tangente en un punto de una variedad, como generalización de lo anterior. Un vector ${displaystyle X_{p}}$ tangente a una variedad será un operador ${displaystyle X_{p}:C^{infty }(p)longrightarrow mathbb {R} }$ que satisfaga:

El conjunto de vectores tangentes en un punto forman un espacio vectorial de la misma dimensión que la variedad llamado espacio tangente en p y notado como ${displaystyle T_{p}M}$. En principio, espacios tangentes en puntos distintos no son comparables. Pero podemos formar con ellos una variedad de dimensión el doble de la dimensión de M, que se llamará fibrado tangente y se notará como TM. Como conjunto, ${displaystyle TM=cup _{pin M}{T_{p}M}}$

Una aplicación ${displaystyle F:Mlongrightarrow N}$ se dirá diferenciable si su expresión en cartas lo es. Formalmente, F es diferenciable si para todo punto p de M podemos encontrar una carta ${displaystyle (U,phi )}$ de M que lo contenga y una carta ${displaystyle (V,psi )}$ de N que contenga a F(p) tales que ${displaystyle psi circ Fcirc phi ^{-1}}$ sea diferenciable.

Una aplicación diferenciable induce un homomorfismo de espacios vectoriales ${displaystyle dF_{p}:T_{p}Mlongrightarrow T_{f(p)}N}$ entre los espacios tangentes respectivos. Al igual que en el cálculo diferencial ordinario, podremos aproximar un objeto diferenciable (F) por un objeto lineal ( ${displaystyle d_{p}F}$ ).

Dada una variedad topológica, nos podemos preguntar si admitirá siempre una estructura diferenciable ${displaystyle C^{k}}$ o si dicha estructura será única. En primer lugar, según un teorema debido a Whitney, en cualquier variedad con una estructura ${displaystyle C^{k}}$ con k>0, hay una única estructura C^∞ compatible con la anterior.

La existencia y unicidad está garantizada en dimensiones menores que 4:

La situación es diferente en dimensión superior:

Algunos ejemplos:

Existen al menos dos maneras de definir lo que es una variedad diferenciable, ambas equivalentes: por medio de parametrizaciones o por medio de aplicaciones coordenadas. La diferencia es sutil, pero importante.

Además, en el caso de espacios euclídeos existe una serie de definiciones equivalentes que son más sencillas que en el caso general.

Sea ${displaystyle M}$ un conjunto (en principio pudiera ser vacío, pero es un caso trivial), ${displaystyle ngeq 0}$ y ${displaystyle rgeq 0}$ dos números enteros, una familia ${displaystyle {(U_{lambda },x_{lambda }):lambda in Lambda }}$ en la que cada ${displaystyle U_{lambda }subset mathbb {R} ^{n}}$ es un abierto y cada ${displaystyle x_{lambda }:U_{lambda }longrightarrow M}$ una aplicación inyectiva, de manera que se cumpla que:

bajo estas condiciones, cada par ${displaystyle (U_{lambda },x_{lambda })}$ de manera que ${displaystyle pin x_{lambda }(U_{lambda })subset M}$ se denomina una carta local o sistema de coordenadas de ${displaystyle M}$ en ${displaystyle p}$, ${displaystyle x_{lambda }}$ se denomina parametrización de ${displaystyle M}$ para ${displaystyle p}$, ${displaystyle x_{lambda }(U_{lambda })}$ se denomina entorno coordenado de ${displaystyle p}$, y la familia ${displaystyle {(U_{lambda },x_{lambda }):lambda in Lambda }}$ es denominada una atlas sobre ${displaystyle M}$. Si un atlas ${displaystyle A}$ es maximal (relativo al orden dado por la inclusión de conjuntos) entre todos los atlas sobre ${displaystyle M}$ (por supuesto bajo las condiciones 1 y 2, ya que de otra manera no sería atlas) se dice que el atlas ${displaystyle A}$ es una estructura diferenciable sobre ${displaystyle M}$.

El conjunto ${displaystyle {Gsubset M:x_{lambda }^{-1}(G)in au (U_{lambda }),lambda in Lambda }}$ (donde aquí ${displaystyle au (U_{lambda })}$ representa la topología del conjunto ${displaystyle U_{lambda }}$) no es otra cosa que la topología final en ${displaystyle M}$ para la familia ${displaystyle {(U_{lambda },x_{lambda }):lambda in Lambda }}$. Cuando se toma una estructura diferenciable ${displaystyle A}$ sobre ${displaystyle M}$ y la topología final en ${displaystyle M}$ para esa estructura diferenciable hace de ${displaystyle M}$ un espacio topológico que cumple el segundo axioma de numerabilidad y la propiedad de Hausdorff, entonces se dice que el par ${displaystyle (M,A)}$ formado por el conjunto ${displaystyle M}$ y la estructura diferenciable ${displaystyle A}$ sobre ${displaystyle M}$ es una variedad topológica de dimensión ${displaystyle n}$ y clase ${displaystyle r}$. Cuando además ${displaystyle r>0}$, entonces se dice que ${displaystyle (M,A)}$ es una variedad diferenciable (de dimensión ${displaystyle n}$ y clase ${displaystyle r}$).

Existen al menos cuatro maneras (todas equivalentes entre sí) de definir una variedad diferencial cuando se las considera como subconjuntos de un espacio euclídeo. Cada una de ellas es útil, y dependiendo del contexto o de la dificultad del problema se usará una u otra, o incluso se combinarán varias a la vez.

Sea ${displaystyle E}$ un espacio euclídeo de dimensión ${displaystyle ngeq 0}$ y sea ${displaystyle Ssubset E}$. Diremos que ${displaystyle S}$ es una variedad diferenciable en ${displaystyle E}$ de dimensión ${displaystyle k}$ (donde ${displaystyle 0leq kleq n}$ es un número entero) y clase ${displaystyle C^{r}}$ (donde ${displaystyle rgeq 1}$ es un número entero) si para cada ${displaystyle x_{0}in S}$ existe un entorno abierto ${displaystyle Usubset E}$ de ${displaystyle x_{0}}$ y una aplicación ${displaystyle Phi :Ulongrightarrow mathbb {R} ^{n-k}}$ de manera que:

A la igualdad ${displaystyle Phi (x)=0}$ la llamaremos representación implícita local de la variedad ${displaystyle S}$ en el punto ${displaystyle x_{0}}$, o simplemente diremos que la variedad viene dada implícitamente por ${displaystyle Phi }$ en ${displaystyle x_{0}}$.

Si existe un abierto ${displaystyle Vsubset E}$ y una aplicación ${displaystyle Phi in C^{r}(V)}$ (donde ${displaystyle rgeq 1}$ es un número entero) de manera que ${displaystyle S={xin V:Phi (x)=0,rang[DPhi (x)]=n-k} eq varnothing }$, a la igualdad ${displaystyle Phi (x)=0}$ se la denomina representación implícita global de la variedad, o se dice simplemente que la variedad viene dada implícitamente por ${displaystyle Phi }$. En este caso podemos tomar como representación implícita local para cada punto de ${displaystyle S}$ el abierto ${displaystyle U={xin V:rang[DPhi (x)]=n-k}}$ y la aplicación ${displaystyle Phi }$.

Sea ${displaystyle E}$ un espacio euclídeo de dimensión ${displaystyle ngeq 0}$ y sea ${displaystyle Ssubset E}$. Diremos que ${displaystyle S}$ es una variedad diferenciable en ${displaystyle E}$ de dimensión ${displaystyle k}$ (donde ${displaystyle 0leq kleq n}$ es un número entero) y clase ${displaystyle C^{r}}$ (donde ${displaystyle rgeq 1}$ es un número entero) si para cada ${displaystyle x_{0}in S}$ existen:

La última condición equivale a decir que ${displaystyle Scap (V imes W)}$ es la gráfica ${displaystyle Gr(f)}$ de ${displaystyle f}$. A la igualdad ${displaystyle y=f(z),zin V}$, o simplemente a la aplicación ${displaystyle f}$, se le denomina representación explícita local de la variedad ${displaystyle S}$ en el punto ${displaystyle x_{0}}$. Si existe una única aplicación ${displaystyle f}$ tal que ${displaystyle S=Gr(f)}$, entonces ${displaystyle f}$ se denomina representación explícita global de la variedad.

Sea ${displaystyle E}$ un espacio euclídeo de dimensión ${displaystyle ngeq 0}$ y sea ${displaystyle Ssubset E}$. Diremos que ${displaystyle S}$ es una variedad diferenciable en ${displaystyle E}$ de dimensión ${displaystyle k}$ (donde ${displaystyle 0leq kleq n}$ es un número entero) y clase ${displaystyle C^{r}}$ (donde ${displaystyle rgeq 1}$ es un número entero) si para cada ${displaystyle x_{0}in S}$ existe un entorno abierto ${displaystyle U_{0}subset E}$ de ${displaystyle x_{0}}$ y una aplicación ${displaystyle Psi :U_{0}longrightarrow mathbb {R} ^{n}}$ de manera que:

A la aplicación ${displaystyle Psi (x)=0}$ la llamaremos representación difeomórfica local de la variedad ${displaystyle S}$ en el punto ${displaystyle x_{0}}$.

Hay que observar que, a consecuencia de ser ${displaystyle Psi }$ difeomorfismo local y ${displaystyle U_{0}}$ abierto, ${displaystyle Psi (U_{0})}$ es también un abierto de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$.

Sea ${displaystyle E}$ un espacio euclídeo de dimensión ${displaystyle ngeq 0}$ y sea ${displaystyle Ssubset E}$. Diremos que ${displaystyle S}$ es una variedad diferenciable en ${displaystyle E}$ de dimensión ${displaystyle k}$ (donde ${displaystyle 0leq kleq n}$ es un número entero) y clase ${displaystyle C^{r}}$ (donde ${displaystyle rgeq 1}$ es un número entero) si para cada ${displaystyle x_{0}in S}$ existe un entorno abierto ${displaystyle U_{1}subset E}$ de ${displaystyle x_{0}}$, un abierto no vacío ${displaystyle Vsubset mathbb {R} ^{k}}$, un elemento ${displaystyle t_{0}in V}$ y una aplicación ${displaystyle varphi :Vlongrightarrow E}$ de manera que:

A la aplicación ${displaystyle varphi }$ la llamaremos representación paramétrica local de la variedad ${displaystyle S}$ en el punto ${displaystyle x_{0}}$.

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