Teorema de Green

En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple ${displaystyle C}$ y una integral doble sobre la región plana ${displaystyle D}$ limitada por ${displaystyle C}$. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes.

Sean ${displaystyle Dsubset mathbb {R} ^{2}}$ una región simple cuya frontera es una curva ${displaystyle C}$ suave a trozos orientada en sentido positivo, si ${displaystyle mathbf {F} =(M,N):D ightarrow mathbb {R} ^{2}}$ es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a ${displaystyle D}$ entonces

donde ${displaystyle C=partial D}$.

Lo siguiente es una demostración de la mitad del teorema para la región ${displaystyle D}$, se demostrará cuando ${displaystyle D}$ es una región tipo I donde ${displaystyle C_{1}}$ y ${displaystyle C_{3}}$ son curvas conectadas por líneas verticales (posiblemente de longitud cero). Una demostración similar existe para la otra parte del teorema cuando se considera a ${displaystyle D}$ como una región tipo II donde ${displaystyle C_{2}}$ y ${displaystyle C_{4}}$ son curvas conectadas por curvas horizontalmente (y otra vez, posiblemente de longitud cero). Considerando estas dos partes, uno demuestra el teorema para una región de tipo III (definida como una región que es tanto de tipo I como de tipo II).

Puede demostrarse que si

y

son ciertas entonces el teorema de Green queda demostrado para la región ${displaystyle D}$. Podemos probar la primera igualdad para regiones de tipo I y la segunda para regiones de tipo II con lo que el teorema de Green es válido para regiones de tipo III.

Si suponemos que ${displaystyle D}$ es una región de tipo I entonces ${displaystyle D}$ queda descrita como

donde ${displaystyle g_{1}(x)}$ y ${displaystyle g_{2}(x)}$ son funciones continuas en ${displaystyle [a,b]}$. Calculando la integral doble de la primera igualdad tenemos

Ahora calculemos la integral de línea para la primera igualdad. ${displaystyle partial D}$ puede ser escrito como la unión de las cuatro regiones ${displaystyle C_{1}}$, ${displaystyle C_{2}}$, ${displaystyle C_{3}}$ y ${displaystyle C_{4}}$.

Para ${displaystyle C_{1}}$ utilicemos las siguientes ecuaciones paramétricas ${displaystyle x=x}$ y ${displaystyle y=g_{1}(x)}$ con ${displaystyle aleq xleq b}$ entonces

Para ${displaystyle C_{3}}$ utilicemos las siguientes ecuaciones paramétricas ${displaystyle x=x}$ y ${displaystyle y=g_{2}(x)}$ con ${displaystyle aleq xleq b}$ entonces

La integral sobre ${displaystyle C_{3}}$ es negativa pues va de ${displaystyle b}$ a ${displaystyle a}$. En ${displaystyle C_{2}}$ y ${displaystyle C_{4}}$, ${displaystyle x}$ es constante por lo que

Por lo que

De manera análoga se puede demostrar la segunda igualdad, combinando estos dos resultados, habremos demostrado el resultado para regiones de tipo III.

Podemos utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea

donde ${displaystyle partial D}$ es la trayectoria orientada en sentido antihorario desde ${displaystyle (0,0)}$ hasta ${displaystyle (1,1)}$ a lo largo de la gráfica de ${displaystyle y=x^{3}}$ desde ${displaystyle (1,1)}$ hasta ${displaystyle (0,0)}$ a lo largo de la gráfica de ${displaystyle y=x}$.

Como ${displaystyle M=y^{3}}$ y ${displaystyle N=x^{3}+3xy^{2}}$ entonces

Aplicando el teorema de Green

Para este ejemplo, el teorema de Green se utilizó para ahorrar tiempo pues evaluar la integral de línea en este caso es algo laborioso. Es importante notar que en este caso, es aplicable el teorema de Green pues satisface las hipótesis.

El teorema de Green es un caso especial en ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ del teorema de Stokes. El teorema enuncia

Sean ${displaystyle Dsubset mathbb {R} ^{2}}$ una región simplemente conexa, ${displaystyle partial D}$ su frontera orientada en sentido positivo y ${displaystyle mathbf {F} =(M,N):D ightarrow mathbb {R} ^{2}}$ un campo vectorial con derivadas parciales continuas sobre ${displaystyle D}$ entonces

Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente ${displaystyle z}$ es constantemente ${displaystyle 0}$. Escribiremos ${displaystyle mathbf {F} }$ como una función vectorial ${displaystyle mathbf {F} =(M,N,0)}$. Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green:

Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes

La superficie ${displaystyle S}$ es simplemente la región en el plano ${displaystyle D}$, con el vector normal unitario ${displaystyle mathbf {hat {n}} }$ apuntando (en la dirección positiva de ${displaystyle z}$) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica ${displaystyle mathbf {hat {n}} =mathbf {k} }$.

La expresión dentro de la integral queda

De esta manera se obtiene el lado derecho del teorema de Green:

luego

El teorema de Green es un caso especial en ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ del teorema de Gauss pues

donde ${displaystyle mathbf {n} }$ es un vector normal en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como ${displaystyle dmathbf {r} =(dx,dy)}$ es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva ${displaystyle C}$ está orientada positivamente, es decir, en sentido antihorario a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser ${displaystyle (dy,-dx)}$. El módulo de este vector es ${displaystyle {sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=dmathbb {r} }$. Por lo tanto ${displaystyle mathbf {n} ;dr=(dy,-dx)}$.

Tomando los componentes de ${displaystyle mathbf {F} =(N,-M)}$, el lado derecho se convierte en

que por medio del teorema de la divergencia resulta

Si ${displaystyle C}$ es una curva cerrada simple que acota una región simplemente conexa entonces el área de la región ${displaystyle D}$, que denotaremos por ${displaystyle A(D)}$, acotada por ${displaystyle C=partial D}$ está dada por

Demostremos que el área de una elipse con semi ejes ${displaystyle a,b>0}$ es ${displaystyle abpi }$.

La ecuación de una elipse es

que puede ser escrita como

Al hacer

Obtenemos que una parametrización de la frontera de la elipse, es decir, de ${displaystyle partial D}$ es

Entonces

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