Espacio tangente

El plano que toca a la esfera en un solo punto es llamado plano tangente. Cada punto de la esfera tiene asociado un plano tangente. Para la esfera los puntos antipodales tiene planos tangente paralelos.]] En geometría diferencial, espacio tangente es el conjunto asociado a cada punto de una variedad diferenciable formado por todos los vectores tangentes a dicho punto (véase fig.1). Es un espacio vectorial de la misma dimensión que la dimensión de la variedad.

El conjunto de todos los espacios tangentes, debidamente topologizado, forma el llamado fibrado tangente. Resulta ser en sí mismo otra variedad de dimensión doble de la dimensión de la variedad de entrada.

Hay varias formas de entender este concepto. Primero vamos a explicar utilizando la gráfica de la fig.2. Empecemos suponiendo que tenemos una curva ${displaystyle scriptstyle gamma }$ en la variedad M que pasa por alguna posición elegida cualquiera: ${displaystyle scriptstyle xin M}$. Es decir una aplicación ${displaystyle scriptstyle gamma : [-varepsilon ,varepsilon ] o M}$ diferenciable que satisface ${displaystyle scriptstyle gamma (0)=x}$ y ${displaystyle scriptstyle gamma '(0)=v}$. Resulta que el conjunto de todos estos vectores tangentes a la curva en el punto x forman el espacio tangente ${displaystyle scriptstyle T_{x}M}$ de x en M.

Si se tiene una variedad diferencial inmersa en ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$ dada por la ecuación ${displaystyle scriptstyle mathbf {f} (x_{1},x_{2},dots ,x_{n})=0}$ entonces el espacio tangente en un punto de dicha variedad ${displaystyle scriptstyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},dots ,a_{n})in {mathcal {M}}}$ viene dado por la ecuación:

${displaystyle {egin{matrix}Dmathbf {f} (mathbf {a} )(mathbf {x-a} )=0Rightarrow \\{egin{bmatrix}partial _{x_{1}}f_{1}(mathbf {a} )&dots &partial _{x_{n}}f_{1}(mathbf {a} )\dots &dots &dots \partial _{x_{1}}f_{n}(mathbf {a} )&dots &partial _{x_{n}}f_{n}(mathbf {a} )end{bmatrix}}{egin{bmatrix}x_{1}-a_{1}\dots \x_{n}-a_{n}end{bmatrix}}=mathbf {0} end{matrix}}}$

Donde ${displaystyle Dmathbf {f} (mathbf {a} )}$ es la matriz jacobiana o diferencial de la función.

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