Producto escalar

En matemáticas, el producto escalar,^[1]​^[2]​^[3]​^[4]​ también conocido como producto interno o producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número.

Algebraicamente, el producto punto es la suma de los productos de las correspondientes entradas en dos secuencias de números. Geométricamente, es el producto de dos magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. El nombre del producto punto se deriva del símbolo que se utiliza para denotar esta operación (« · »). El nombre alternativo de producto escalar enfatiza el hecho de que el resultado es un escalar en lugar de un vector (en el caso de espacios de tres dimensiones)

El producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma sesquilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Más específicamente, es una aplicación cuyo dominio es ${displaystyle V^{2}}$ y su codominio es ${displaystyle mathbb {K} }$, donde ${displaystyle V}$ es un espacio vectorial y ${displaystyle mathbb {K} }$ el conjunto de los escalares respectivo.^[5]​ Esta aplicación amplía la oportunidad de emplear los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

Un producto escalar se puede expresar como:

donde ${displaystyle V;}$ es un espacio vectorial y ${displaystyle mathbb {K} }$ es el cuerpo sobre el que está definido ${displaystyle V;}$. La función ${displaystyle langle cdot ,cdot angle }$ (que toma como argumentos dos elementos de ${displaystyle V;}$, y devuelve un elemento del cuerpo ${displaystyle mathbb {K} }$) debe satisfacer las siguientes condiciones:

donde ${displaystyle x,y,zin V}$ son vectores de V, ${displaystyle a,bin mathbb {K} }$ representan escalares del cuerpo ${displaystyle mathbb {K} }$ y ${displaystyle {overline {c}}}$ es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (p. ej., ${displaystyle mathbb {R} }$), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por:

Un espacio vectorial sobre el cuerpo ${displaystyle mathbb {R} }$ o ${displaystyle mathbb {C} }$ dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de Hilbert. Si la dimensión es finita y el cuerpo es el de los números reales, se dirá que es un espacio euclídeo; si el cuerpo es el de los números complejos (y la dimensión es finita) se dirá que es un espacio unitario.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

${displaystyle |x|:={sqrt {langle x,x angle }}}$

En tal caso, esta es una de las infinitas normas que pueden ser generadas a partir de un producto interior.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo ${displaystyle heta }$ que forman.

${displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} =|mathbf {A} ||mathbf {B} |cos heta =A,B,cos heta }$

En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es ${displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} }$

Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.

Puesto que |A| cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es |A| cos θ = proy A_B, será

${displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} =|B|left({ ext{proy}}A_{B} ight)}$

de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores, mediante la siguiente definición formal: que nos dice que la multiplicación de un escalar denominado K tiene que ser diferente de cero.

${displaystyle cos heta ={mathbf {A} cdot mathbf {B} over {ig |}mathbf {A} {ig |},{ig |}mathbf {B} {ig |}},}$

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales

${displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} =0qquad Rightarrow qquad mathbf {A} ot mathbf {B} }$

ya que el ${displaystyle cos {frac {pi }{2}}=0}$.

Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados).

Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

${displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} =A,B,cos heta quad &quad |mathbf {A} cdot mathbf {B} |=|A|,|B|leftrightarrow |cos heta |=1leftrightarrow A||B}$

Sean A, B y C vectores en el plano o en el espacio y sea m un escalar:

1. Conmutativa:

${displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} =mathbf {B} cdot mathbf {A} }$

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

${displaystyle mathbf {A} cdot (mathbf {B} +mathbf {C} )=mathbf {A} cdot mathbf {B} +mathbf {A} cdot mathbf {C} }$

3. Asociatividad respecto al producto por un escalar m:

${displaystyle m(mathbf {A} cdot mathbf {B} )=(mmathbf {A} )cdot mathbf {B} =mathbf {A} cdot (mmathbf {B} )}$

Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ formada por los vectores unitarios ${displaystyle {vec {i}}}$, ${displaystyle {vec {j}}}$, ${displaystyle {vec {k}}}$, tenemos:

${displaystyle mathbf {A} =A_{x}mathbf {i} +A_{y}mathbf {j} +A_{z}mathbf {k} ,}$

${displaystyle mathbf {B} =B_{x}mathbf {i} +B_{y}mathbf {j} +B_{z}mathbf {k} ,}$

El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:

${displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} ={egin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}{egin{bmatrix}B_{x}\B_{y}\B_{z}\end{bmatrix}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z},}$

Así, generalizando para un espacio de n dimensiones

${displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} ={egin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&...&A_{n}\end{bmatrix}}{egin{bmatrix}B_{1}\B_{2}\.\.\.\B_{n}\end{bmatrix}}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+...+A_{n}B_{n},}$

Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.

Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.

${displaystyle {ig |}mathbf {A} {ig |}^{2}=mathbf {A} cdot mathbf {A} quad ightarrow quad {ig |}mathbf {A} {ig |}={sqrt {mathbf {A} cdot mathbf {A} }}}$

Efectuado el producto escalar, tenemos:

${displaystyle {ig |}mathbf {A} {ig |}^{2}=mathbf {A} cdot mathbf {A} =(A_{1},A_{2},...,A_{n})^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+...+A_{n}^{2}=sum A_{i}^{2}}$

de modo que

${displaystyle {ig |}mathbf {A} {ig |}={sqrt {sum A_{i}^{2}}}={sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+...+A_{n}^{2}}}}$

Por componentes, tomando la base canónica en ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ formada por los vectores unitarios {i, j, k}

${displaystyle mathbf {A} =A_{x}mathbf {i} +A_{y}mathbf {j} +A_{z}mathbf {k} ,}$

${displaystyle {ig |}mathbf {A} {ig |}^{2}=mathbf {A} cdot mathbf {A} ={egin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}{egin{bmatrix}A_{x}\A_{y}\A_{z}\end{bmatrix}}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2},}$

de modo que

${displaystyle {ig |}mathbf {A} {ig |}={sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}},}$

Citamos a continuación algunos productos estudiados generalmente en Teoría de Espacios Normados. Todos estos productos —llamados canónicos— son solo algunos de los infinitos productos interiores que se pueden definir en sus respectivos espacios.

Siendo ${displaystyle {overline {b_{n}}}}$ el número complejo conjugado de ${displaystyle b_{n}}$

donde tr(A) es la traza de la matriz A y ${displaystyle A^{T}}$ es la matriz traspuesta de A.

donde tr(A) es la traza de la matriz A y ${displaystyle A^{*}}$ es la matriz traspuesta conjugada de A.

Dado ${displaystyle extstyle [x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},x_{n+1}]subseteq mathbb {R} }$ tal que ${displaystyle extstyle x_{1}<x_{2}<x_{3}<...<x_{n}<x_{n+1},}$ :

${displaystyle mathbf {p} cdot mathbf {q} =p(x_{1})q(x_{1})+p(x_{2})q(x_{2})+...+p(x_{n})q(x_{n})+p(x_{n+1})q(x_{n+1})=sum p(x_{i})cdot q(x_{i})}$

Dada una forma bilineal simétrica ${displaystyle scriptstyle B(cdot ,cdot )}$ definida sobre un espacio vectorial ${displaystyle scriptstyle V=mathbb {R} ^{n}}$ puede definirse un producto escalar diferente del producto escalar euclídeo mediante la fórmula:

${displaystyle (mathbf {u} ,mathbf {v} )_{B}={egin{bmatrix}u_{1}&dots &u_{n}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}B_{11}&dots &B_{1n}\dots &dots &dots \B_{n1}&dots &B_{nn}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}v_{1}\dots \v_{n}end{bmatrix}}=sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}B_{ij}u_{i}v_{j}}$

Donde:

Puede comprobarse que la operación anterior ${displaystyle scriptstyle (cdot ,cdot )_{B}:V imes V o mathbb {R} }$ satisface todas las propiedades que debe satisfacer un producto escalar.

Se pueden definir y manejar espacio no euclídeos o más exactamente variedades de Riemann, es decir, espacios no planos con un tensor de curvatura diferente de cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y volúmenes. En estos espacios más generales se adopta el concepto de geodésica en lugar del de segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y, también, se modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual introduciendo un tensor métrico ${displaystyle scriptstyle g:{mathcal {M}} imes T{mathcal {M}} imes T{mathcal {M}} o mathbb {R} }$, tal que la restricción del tensor a un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal ${displaystyle scriptstyle g_{x}(cdot ,cdot )=g(x;cdot ,cdot )}$.

Así, dados dos vectores campos vectoriales ${displaystyle mathbf {u} }$ y ${displaystyle mathbf {v} }$ del espacio tangente a la variedad de Riemann se define su producto interno o escalar como:

${displaystyle langle mathbf {u} ,mathbf {v} angle =g_{x}(mathbf {u} ,mathbf {v} )=sum _{i}sum _{j}g_{ij}(x)u_{i}v_{j}}$

La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir a partir de su vector tangente ${displaystyle scriptstyle mathbf {T} }$ de la siguiente manera:

${displaystyle L_{C}=int _{s_{a}}^{s_{b}}{sqrt {g(mathbf {x} ,mathbf {T} ,mathbf {T} )}} ds=int _{s_{a}}^{s_{b}}{sqrt {g_{ij}{frac {dx^{i}}{ds}}{frac {dx^{i}}{ds}}}} ds}$

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