Asociatividad (álgebra)

La asociatividad es una propiedad en el álgebra y la lógica proposicional que se cumple si, dados tres o más elementos cualquiera de un conjunto determinado, se verifica que existe una operación: ${displaystyle circledcirc }$, que cumpla la igualdad:

Es decir, en una expresión asociativa con dos o más ocurrencias seguidas de un mismo operador asociativo, el orden en que se ejecuten las operaciones no altera el resultado, siempre y cuando se mantenga intacta la secuencia de los operandos. En otras palabras, reorganizar los paréntesis en una expresión asociativa no cambia su valor final.

La suma y el producto de números reales cumplen la propiedad asociativa, siendo válidas las igualdades:

para la suma y para la multiplicación:

En ambas, la ubicación de los paréntesis no altera el resultado. Nótese que los operandos se han mantenido en su posición original dentro de la expresión. Muchas operaciones importantes son no asociativas, por ejemplo la resta y la exponenciación. Las expresiones que contienen tanto operaciones asociativas como operaciones no asociativas dan como resultado expresiones no asociativas.

No se debe confundir la asociatividad con la conmutatividad, la cual establece que sí se puede cambiar el orden de los operandos sin afectar el resultado final.

Sea A un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna ${displaystyle circledcirc }$ tal que

Se dice que la operación ${displaystyle circledcirc }$ es asociativa si:

La ley asociativa también puede ser expresada en notación funcional así:

Partiendo del conjunto de los números naturales

para la operación suma, definida como:

${displaystyle (mathbb {N} ,+),}$ tiene la propiedad asociativa, dado que:

Por ejemplo:

Sin embargo, para la operación resta, definida como:

${displaystyle (mathbb {N} ,-),}$ no tiene la propiedad asociativa, dado que:

Por ejemplo:

En la lógica proposicional estándar, la asociación,^[2]​^[3]​ o asociatividad^[4]​ son dos reglas de reemplazo válidas. Estas reglas permiten mover los paréntesis en expresiones lógicas usadas en pruebas lógicas. Las reglas son:

donde "${displaystyle Leftrightarrow }$" es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una prueba por".

Asociatividad es una propiedad de algunas conectivas lógicas en las funciones de verdad de la lógica proposicional. Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la asociatividad es una propiedad de conectivas lógicas particulares. Son asimismo tautologías de funciones de verdad.

Asociatividad de la disyunción:

Asociatividad de la conjunción:

Asociatividad de la equivalencia:

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