Polilogaritmo

El polilogaritmo (también conocido como función de Jonquière) es una función especial ${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)}$ definida por la siguiente serie:

Esta no es, en general, una función elemental, aunque esté relacionada con la función logarítmica. La definición dada arriba es válida para todo número complejo s y z tal que ${displaystyle vert zvert <1}$. Para obtener el polilogaritmo en el resto del plano complejo, hay que extender la definición mediante una continuación analítica.

El caso especial ${displaystyle s=1}$ nos da la relación de estas funciones con el logaritmo (${displaystyle operatorname {Li} _{1}(z)=-operatorname {ln} (1-z)}$) mientras que los casos especiales ${displaystyle s=2}$ y ${displaystyle s=3}$ se denominan dilogaritmo (o función de Spence) y trilogaritmo respectivamente. El nombre de la función proviene del hecho de que podría ser definida como integrales iteradas de la misma función:

así, el dilogaritmo es una integral del logaritmo, el trilogaritmo del dilogaritmo y así continuamente. Para valores enteros negativos de s, el polilogaritmo es una función racional.

El polilogaritmo también aparece en la forma cerrada de la integral de la distribución de Fermi-Dirac y de la distribución de Bose-Einstein, denominándose a veces como la integral de Fermi-Dirac o la integral de Bose-Einstein. El polilogaritmo no debe confundirse con las funciones polilogarítmicas ni con la función logaritmo integral, la cual tiene una notación similar.

En el caso en el que el parámetro s sea un entero, este estará representado por n (o -n cuando sea negativo). Suele ser conveniente definir ${displaystyle mu =operatorname {ln} (z)}$ donde ${displaystyle operatorname {ln} (z)}$ es la rama principal del logaritmo complejo ${displaystyle operatorname {Ln} (z)}$, de tal manera que ${displaystyle -pi <operatorname {Im} (mu )<pi }$. Además, toda exponencialización se considerará univaluada: ${displaystyle z^{s}=e^{soperatorname {ln} (z)}}$.

Dependiendo del parámetro s, el polilogaritmo puede ser multivaluado. La rama principal del polilogaritmo se escoge que sea aquella para la que ${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)}$ sea real para ${displaystyle zin [0,1]}$ y sea continua excepto en el eje positivo real, donde hay un corte en el intervalo ${displaystyle zin [1,infty )}$ tal que el corte coloca a los puntos del eje real en el semiplano inferior de z. En término de ${displaystyle mu }$, la rama principal está definida para aquellos valores de ${displaystyle mu }$ tales que ${displaystyle operatorname {arg} (mu )in (-pi ,pi ]}$. El hecho de que el polilogaritmo sea discontinuo en ${displaystyle mu }$ puede dar lugar a confusión.

Para z real y z ≥ 1, la parte imaginaria del polilogaritmo es:

Si se atraviesa el corte, esto es, tomando un parámetro infinitesimal δ positivo y real, entonces se tiene:

Las derivadas del polilogaritmo son:

Para valores enteros de s, se tienen las siguientes relaciones explícitas:

Para todos los valores negativos de s, se puede expresar el polilogaritmo como un cociente de polinomios en z, siendo por tanto funciones racionales. Algunos valores de polilogaritmos para argumentos semienteros son:

donde ζ es la función zeta de Riemann. No se conocen fórmulas similares para mayores órdenes.

Esta ecuación proporciona la continuación analítica de la representación mediante series del polilogaritmo más allá del círculo de convergencia ${displaystyle vert zvert =1}$.

Por otra parte, para todo ${displaystyle sin mathbb {C} }$ y para todo ${displaystyle ~z ot in ~]0;1[}$, la fórmula de inversión es:

Más abajo se tiene esta fórmula para el caso en el que ${displaystyle s}$ sea un entero, en el cual se simplifica bastante.

que se cumple para todo x y ${displaystyle n=,0,1,,2,,3,dots }$ se obtiene la siguiente relación:

Con las mismas condiciones sobre x que arriba, para valores enteros negativos del parámetro s, se tiene que, para todo ${displaystyle zin mathbb {C} }$:

Más generalmente, ${displaystyle n=0,pm 1,pm 2,pm 3,cdots }$:

Otra expresión bastante similar relaciona la función de Debye con el polilogaritmo:

El cambio de variables ${displaystyle t=ab}$, ${displaystyle u=a(1-b)}$ transforma a la integral doble en una integral separable:

Para ${displaystyle f=1}$ tenemos, usando la transformada inversa de Mellin:

donde c es una constante situada a la derecha de los polos del integrando. El camino de integración puede deformarse en un contorno cerrado, y los polos del integrando son los de la función gamma ${displaystyle Gamma (r)}$ en ${displaystyle r=,0,-1,,-2,dots }$ y el polo de la función zeta de Riemann ${displaystyle zeta (s+r)}$ situado en ${displaystyle r=1-s}$. Sumando estos residuos, para ${displaystyle vert mu vert <2pi }$ y ${displaystyle s eq ,1,,2,,3,dots }$

Si el parámetro s es un entero positivo n, tanto el término ${displaystyle k=n-1}$ como la función gamma se hacen infinito, aunque su suma no. Para enteros ${displaystyle k>0}$ se tiene:

y para ${displaystyle k=0}$:

Así, para ${displaystyle s=n}$, donde n es un entero positivo y ${displaystyle vert mu vert <2pi }$, se tiene lo siguiente:

donde ${displaystyle H_{n}}$ es un número armónico:

El término problemático contiene a ${displaystyle -operatorname {ln} (-mu )}$ el cual, cuando se multiplica por ${displaystyle mu ^{k}}$ tiende a cero cuando μ tiende a cero, excepto en el caso en el que ${displaystyle k=0}$. Esto refleja el hecho de que el polilogaritmo ${displaystyle operatorname {Li} _{s}(z)}$ contiene una singularidad logarítmica cuando ${displaystyle s=1}$ y ${displaystyle z=1}$, entonces:

Usando la relación existente entre la función zeta de Riemann y los números de Bernoulli ${displaystyle B_{k}}$:

se obtiene, para órdenes s negativos enteros del polilogaritmo y ${displaystyle vert mu vert <2pi }$:

Como, exceptuando ${displaystyle B_{1}}$, todos los números de Bernoulli con índice impar son cero, se obtiene el término ${displaystyle n=0}$ usando ${displaystyle zeta (0)=B_{1}=-1/2}$.

donde H es el contorno de Hankel, ${displaystyle s eq ,1,,2,,3,dots }$, y el polo ${displaystyle t=mu }$ del integrando no cae en el eje no negativo real. El contorno de Hanker puede deformarse para que contenga los polos del integrando en ${displaystyle t-mu =2kpi i}$ y la integral puede ser evaluada como la suma de los residuos de los polos que contenga con la fórmula integral de Cauchy.

Esto se cumplirá para ${displaystyle operatorname {Re} (s)<0}$ y para todo μ excepto cuando ${displaystyle e^{mu }=1}$. Sumando estas series se obtiene:

Nótese que esta suma es más compacta escrita en términos de la función eta de Dirichlet.

donde ${displaystyle leftlangle {n atop i} ight angle }$ son los números Eulerianos.

donde ${displaystyle S(n,k)}$ son los números de Stirling de segunda especie.

Los siguientes límites se cumplen para el polilogaritmo:

El dilogaritmo es el polilogaritmo con ${displaystyle s=2}$. Una representación integral del dilogaritmo es:

La identidad de Abel para el dilogaritmo está dada por

Es inmediato que esta igualdad se cumple en los casos ${displaystyle x=0}$ y ${displaystyle y=0}$, y es fácilmente verificable por diferenciación ∂/∂x ∂/∂y. Para ${displaystyle y=1-x}$ la identidad se reduce a la fórmula de reflexión de Euler:

donde se ha usado ${displaystyle operatorname {Li} _{2}(1)={frac {pi ^{2}}{6}}}$.

Haciendo el cambio de variables ${displaystyle u=x/(1-y)}$, ${displaystyle v=y/(1-x)}$, la identidad de Abel se transforma así:

llamándose a esta la Identidad Pentagonal.

Nota histórica:Don Zagier remarcó que "El dilogaritmo es la única función matemática con sentido del humor."

Leonard Lewin descubrió una generalización de varias relaciones clásicas para valores especiales del polilogaritmo, estas son las escaleras de polilogaritmoseee. Sea ${displaystyle ho =left({sqrt {5}}-1 ight)/2}$ el recíproco del número áureo. Entonces, dos ejemplos de estas relaciones son los siguientes:

Estas relaciones aparecen de forma natural en teoría K y Geometría algebraica.

El polilogaritmo tiene dos puntos de ramificación, uno en ${displaystyle z=1}$ y otro en ${displaystyle z=0}$. El segundo punto (el situado en ${displaystyle z=0}$) no es visible en la hoja principal del polilogaritmo. Este sólo se hace visible cuando el polilogaritmo es extendido mediante continuación analítica a sus otras hojas. El grupo de monodromía para el polilogaritmo consiste en las clases de homotopía de los caminos que rodean los puntos de ramificación. Denotando a estos puntos como ${displaystyle m_{0}}$ y ${displaystyle m_{1}}$, el grupo de monodromía tiene la siguiente representación de grupo:

Para el caso especial de dilogaritmo, se tiene además que ${displaystyle wm_{0}=m_{0}w}$, y el grupo de monodromías es el grupo de Heisenberg (identificando ${displaystyle m_{0},m_{1}}$ y ${displaystyle w}$ con ${displaystyle x,y,z}$).

---