Presentación de grupo

En álgebra abstracta, una presentación es una forma de definir un grupo mediante la especificación de dos conjuntos:

La presentación de un grupo G suele escribirse en la forma ${displaystyle ~langle Smid R angle }$. En las relaciones en que el segundo miembro de la igualdad sea el elemento neutro del grupo, suele omitirse la igualdad y el elemento neutro. Por ejemplo:

indica que el grupo G está generado por a, b, c, d ; y el conjunto de relaciones nos indica que b⁹= e, es decir, b es de orden 9, cb es de orden 3, y que c y b conmutan.

Llamamos palabra a cualquier producto de elementos del grupo o de sus inversos. Por ejemplo, si x, y, z son elementos de un grupo G, entonces xy, z^-1xzz son palabras en el conjunto {x, y, z}.

Diremos que un grupo G está generado por un conjunto S, si es posible describir todo elemento de G como producto de la forma

donde todos los x_i son elementos de S, y cada a_i es un número entero. Es decir, si todo elemento de G puede expresarse como una palabra en S.

Si G no es un grupo libre, muchos de estos productos serán iguales. Será necesario precisar todas estas relaciones a partir de un conjunto R de relaciones básicas de las que se deduzcan las demás,

Para definir el concepto de presentación de un grupo, es necesario precisar que significa que una relación se satisface en un grupo dado. Para esto, se recurre a los grupos libres, a través de los cuales se puede representar una relación entre productos de generadores de un grupo como una palabra en el grupo libre. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de símbolos ${displaystyle ~X}$ y el grupo libre sobre ${displaystyle X}$, representado por ${displaystyle F_{X}}$. Si ${displaystyle p}$ y ${displaystyle q}$ son palabras del grupo libre ${displaystyle F_{X}}$, entonces la relación ${displaystyle p=q}$ puede representarse por ${displaystyle pq^{-1}=1}$, y convenir en que el lado derecho siempre es ${displaystyle 1}$ nos permite fijarnos sólo en la palabra ${displaystyle pq^{-1}}$. Así, tenemos que toda relación entre los elementos de un grupo pueden expresarse como una palabra de ${displaystyle F_{X}}$ para cierto conjunto ${displaystyle X}$. Puesto que los símbolos de ${displaystyle X}$ no son los símbolos de un grupo ${displaystyle G}$, es necesario "traducirlos" a elementos de ${displaystyle G}$ mediante una función ${displaystyle f:Xlongrightarrow G}$, y así podemos decir que una relación de grupo con elementos en un conjunto ${displaystyle X}$ se satisface en un grupo ${displaystyle G}$ mediante una función ${displaystyle f}$ si al interpretar la relación como un producto en ${displaystyle G}$ (cambiando letras por su imagen por ${displaystyle f}$) el resultado es ${displaystyle 1_{G}}$, el elemento neutro de ${displaystyle G}$.

Dado un conjunto de relaciones ${displaystyle Rsubset F_{X}}$, siempre es posible definir un conjunto que satisface estas relaciones. Se trata del grupo cociente ${displaystyle F_{X}/N}$, donde ${displaystyle N}$ es el menor subgrupo normal de ${displaystyle F_{X}}$ que contiene a ${displaystyle R}$, llamado clausura normal de ${displaystyle R}$ (la clausura normal existe, y no es más que el conjunto generado por la clase de conjugación ${displaystyle R^{G}={grg^{-1}mid gin G{mbox{ y }}rin R}}$). En efecto, pues ${displaystyle f}$ se toma como la proyección canónica ${displaystyle F_{X}longrightarrow F_{X}/N}$, vemos que si ${displaystyle pin R}$ entonces ${displaystyle pin N=ker f}$, y así la palabra ${displaystyle p}$, al ser interpretada como producto en ${displaystyle F_{X}/N}$, es igual al elemento neutro de ${displaystyle F_{X}/N}$ y ${displaystyle p}$ se satisface en ${displaystyle F_{X}/N}$ para toda ${displaystyle pin R}$. Estas ideas son suficientes para dar la definición de una presentación de grupo:

Si ${displaystyle G}$ tiene una presentación ${displaystyle ~langle Xmid R angle }$, se puede considerar al conjunto ${displaystyle X}$ como el generador de ${displaystyle G}$, y entonces ${displaystyle G}$ es el mayor grupo libre en ${displaystyle X}$ en el que las relaciones ${displaystyle R}$ se satisfacen. La formulación precisa de esta última afirmación es el teorema de von Dyck siguiente:

El teorema de von Dyck nos dice que, en efecto, un grupo ${displaystyle G}$ que tiene una presentación ${displaystyle ~langle Xmid R angle }$ cumple con la propiedad universal que caracteriza a los grupos libres, y así es libre con base ${displaystyle X}$. Cuando ${displaystyle H}$ es un grupo que también satisface las relaciones en ${displaystyle R}$ y ${displaystyle H=langle f(X) angle }$ como en el teorema anterior, entonces hay un epimorfismo ${displaystyle psi :Glongrightarrow H}$ y así ${displaystyle H}$ es isomorfo (por el primer teorema de isomorfía) a un grupo cociente de ${displaystyle G}$ (a saber ${displaystyle G/ker psi }$), y es en este sentido que el grupo ${displaystyle G}$ es el mayor grupo libre en ${displaystyle X}$ que satisface las relaciones en ${displaystyle R}$.

donde el conjunto de relaciones es vacío, de hecho este grupo coincide con un grupo libre de un solo generador. En general,

es la presentación del grupo libre ${displaystyle ~F_{X}}$.

Se trata de un grupo de orden ${displaystyle ~2^{n}}$. Para ${displaystyle n=3}$, esta presentación nos da el grupo conocido de quaterniones de orden 8.

que determina un grupo que es isomorfo a ${displaystyle SL(2,mathbb {Z} )}$ un ejemplo de grupo lineal especial.

Si ${displaystyle G}$ tiene una presentación ${displaystyle ~langle Smid R angle }$ y ${displaystyle H}$ una presentación ${displaystyle ~langle Tmid Q angle }$ con ${displaystyle S}$ y ${displaystyle T}$ disjuntos, entonces el producto libre ${displaystyle Gast H}$ tiene una presentación ${displaystyle ~langle S,Tmid R,Q angle }$.

Si ${displaystyle G}$ tiene una presentación ${displaystyle ~langle Smid R angle }$ y ${displaystyle H}$ una presentación ${displaystyle ~langle Tmid Q angle }$ con ${displaystyle S}$ y ${displaystyle T}$ disjuntos, entonces el producto directo de ${displaystyle G}$ y ${displaystyle H}$ tiene una presentación ${displaystyle ~langle S,Tmid R,Q,[S,T] angle }$, donde ${displaystyle [S,T]}$ representa las relaciones necesarias para que todo elemento de ${displaystyle S}$ conmute con todo elemento de ${displaystyle T}$.

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