Logaritmo complejo

En análisis complejo, una función logaritmo complejo es una "función inversa" de la función exponencial compleja, de la misma manera que el logaritmo natural ln x es la función inversa de la función exponencial e^x. Entonces, un logaritmo de z es un número complejo w tal que e^w = z.^[1]​ La notación para tal w es log z. Pero debido a que todo número complejo z distinto de cero tiene infinitos logaritmos distintos,^[1]​ hay que tener cuidado para darle a esta notación un significado no ambiguo.

Si z = re^iθ con r > 0 (forma polar), entonces w = ln r + iθ es un logaritmo de z; sumándole múltiplos enteros de 2πi se obtienen todos los demás.^[1]​

Para que una función tenga una función inversa, esta debe ser inyectiva, esto es, distintos argumentos de la función han de dar lugar a distintos resultados de la misma, sin repetición. Pero la función exponencial compleja no cumple esta propiedad: e^w+2πi = e^w para cualquier w, y la adición de iθ a w tiene el efecto de rotar respecto de w en el sentido contrario de las agujas del reloj θ radianes. La lista infinita de números

que forma una secuencia de puntos "equiespaciados" a lo largo de la recta vertical en el plano complejo, da lugar al mismo número cuando se le aplica la función exponencial. Entonces, la función exponencial no tiene una función inversa en el sentido usual.^[2]​^[3]​

Existen dos soluciones para este problema:

Una es restringir el dominio de la función exponencial a una región en la que no contenga cualesquiera dos números que difieran en un múltiplo entero de 2πi: esto lleva de forma natural a la definición de ramificaciones de log z, las cuales son ciertas funciones que dan un solo valor del logaritmo a cada punto de sus dominios. Esto es análogo a la definición de sin⁻¹x en [−1,1] como la función inversa de la restricción de sin θ en el intervalo [−π/2,π/2]: hay muchos números reales θ con sin θ = x, pero se escoge (de una forma más o menos arbitraria) los θ del intervalo [−π/2,π/2].

Otra forma de resolver esta indeterminación es ver al logaritmo como una función cuyo dominio no es una región del plano complejo, sino de una superficie de Riemann que recubre el plano complejo (sin el cero) de una forma infinito-a-1.

Las ramificaciones tienen la ventaja de que pueden ser evaluadas en números complejos. Por otro lado, la función sobre la superficie de Riemann tiene la elegancia de contener todas las ramas de log z y no requiere la elección de una ramificación en particular para su definición.

Para cada número complejo z no nulo, el valor principal de Log z es el logaritmo cuya parte imaginaria cae en el intervalo (−π,π]. La expresión Log 0 no está bien definida, pues no existe ningún número complejo w que satisfaga e^w = 0.

Hay otras posibles maneras de definir el valor principal.

Para definir una fórmula para Log z, se empieza con la representación de z en forma polar, z = re^iθ. Dado z, la forma polar no es única debido a la posibilidad de sumar un múltiplo entero de 2π a θ, pero puede hacerse única bajo el requisito de que θ caiga en el intervalo (−π,π]; este θ se denomina valor principal del argumento, y normalmente se escribe como Arg z. Entonces, el valor principal del logaritmo^[1]​ puede escribirse como

Por ejemplo, Log(-3i) = ln 3 − πi/2.

Otra manera de definir a Log z es como el inverso de la función exponencial compleja definida sobre una región restringida del plano complejo, como en la sección previa. La banda horizontal S de números complejos w = re^iθ tales que −π < θ ≤ π es un ejemplo de una región del plano complejo que no contiene cualesquiera dos números que difieran en un múltiplo entero de 2πi, entonces la restricción de la función exponencial a S tiene una inversa bien definida. De hecho, la función exponencial mapea a S de forma biyectiva al plano complejo sin el cero ${displaystyle mathbb {C} ^{*}=mathbb {C} -{0}}$, y la inversa de esta restricción es ${displaystyle operatorname {Log} colon mathbb {C} ^{*} o S}$. La sección de representación conforme que viene a continuación explica las propiedades geométricas de este mapa con más detalle.

Cuando la notación log z aparece sin haberse especificado ninguna rama particular del logaritmo, lo mejor es asumir que tenemos la definición del valor principal. En particular, esto da un valor consistente con el valor en el eje real de ln z cuando z es un número real positivo. La notación Log (con mayúscula en vez de log) la usan distintos autores^[1]​ para distinguir el valor principal de otros logaritmos de z.

Una fuente de errores común a la hora de trabajar con logaritmos complejos es asumir que identidades verificadas por ln se extienden a números complejos. Es cierto que e^Log z = z para todo z ≠ 0 (esto no es más que de definición de Log z como el logaritmo de z), pero la identidad Log e^z = z no es correcta para z fuera de la banda S. Por esta razón, no se puede aplicar siempre Log a los dos lados de una igualdad de la forma e^z = e^w para deducir que z = w. También la identidad Log(z₁z₂) = Log z₁ + Log z₂ puede no ser correcta: los dos lados de dicha igualdad pueden diferir por un entero múltiplo de 2πi: de hecho,

La función Log z es discontinua en todos los reales negativos, pero continua en el resto de puntos de ${displaystyle mathbb {C} ^{*}}$. Para entender la discontinuidad, veamos qué le pasa a Arg z cuando z se aproxima a un número negativo real a. Si z se aproxima a a desde el semiplano superior, entonces Arg z se aproxima a π, que es el valor de Arg a. Pero si z se aproxima a a desde el semiplano inferior, entonces Arg z se aproxima a −π. Entonces Arg z "salta" (tiene una discontinuidad de) 2π cuando z cruza el eje negativo real y, de forma similar, Log z salta 2πi.

¿Existe una forma diferente de elegir un logaritmo de cada número complejo no nulo de tal manera que la función L(z) sea continua en todos los puntos de ${displaystyle mathbb {C} ^{*}}$? Desafortunadamente, la respuesta es no. Para entender la razón de esto, no hay más que seguir el comportamiento de tal función logaritmo a lo largo del círculo unidad, evaluando L en e^iθ cuando θ aumenta de valor desde 0 hasta 2π. Por simplicidad, supongamos que empezamos en L(1) = 0. Entonces, para que L(z) fuera continua, L(e^iθ) debería ser igual a iθ cuando θ incrementa su valor (la diferencia es una función continua de θ que toma valores en el conjunto discreto ${displaystyle 2pi imathbb {Z} }$). En particular, L(e^2πi) = 2πi, pero e^2πi = 1, pero esto contradice la condición inicial L(1) = 0.

Para obtener un logaritmo continuo definido sobre el plano complejo, es necesario restringir el dominio a un subconjunto menor U del plano complejo. Debido a que uno de los objetivos es poder definir una derivada del logaritmo, es razonable asumir que la función está definida en una vecindad de cada punto de su dominio; en otras palabras, U debería ser un conjunto abierto. También es razonable asumir que U está conectado, pues de otra manera la definición de la función en las distintas partes de U podría no ser coherente, no tener relación entre sí. Todo esto motiva la siguiente definición:

Por ejemplo, el valor principal define una ramificación en el conjunto abierto donde es continua, el cual es el conjunto ${displaystyle mathbb {C} -mathbb {R} _{leq 0}}$ obtenido al eliminar el cero y todos los números reales negativos del plano complejo.

Otro ejemplo; la serie de Mercator (serie de Taylor del logaritmo) es

converge localmente uniformemente para |u| < 1, así que z = 1+u define una ramificación de log z en el disco abierto de radio 1 centrado en 1. (En realidad, esto es sólo una restricción de Log z, como puede ser demostrado diferenciando la serie y comparando los valores en 1.)

Una vez que la ramificación está fijada, esta podría denotarse como "log z" si no hay confusión con la definición. Diferentes ramificaciones dan diferentes valores del logaritmo de un número complejo concreto, sin embargo, cualquier ramificación ha de estar fijada de antemano (o en caso contrario debe entenderse que trabajamos con la ramificación principal) para que "log z" nos de un resultado concreto libre de ambigüedades.

El argumento de arriba del círculo unidad se puede generalizar para mostrar que no existe ninguna ramificación de log z sobre un conjunto abierto U que contenga una curva cerrada con índice alrededor de 0. Para comprobar esto, U es normalmente elegido como el complemento de un rayo o curva en el plano complejo que va desde 0 (inclusive) hacia el infinito en una dirección dada. En este caso, la curva se conoce como corte de ramificación. Por ejemplo, la ramificación principal tiene un corte de ramificación a lo largo del eje real negativo.

Si la función L(z) se extiende para que esté definida sobre un punto del corte de ramificación, esta función será necesariamente discontinua sobre dicho punto; En el mejor de los casos será continua "por un lado", como de hecho le ocurre a Log z sobre los números negativos reales.

Cada ramificación L(z) de log z en el conjunto abierto U es una inversa de una restricción de la función exponencial, que se denomina "restricción a la imagen de U sobre L". Como la función exponencial es holomorfa (es decir, diferenciable en el plano complejo) con derivada no nula, el análogo complejo del teorema de la función inversa es aplicable. Esto nos muestra que L(z) es holomorfa sobre cada z en U, y L′(z) = 1/z.^[1]​ Otra forma de probar esto es a través de las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares.^[1]​

La función ln x para x > 0 puede ser construida con la fórmula

Si el rango de integración empieza en un número positivo a distinto de 1, la fórmula puede escribirse como

En la definición de un análogo del logaritmo complejo, hay una complicación adicional: la definición de la integral compleja requiere la elección de un camino de integración. Afortunadamente, como el integrando es holomorfo, el valor de la integral es invariante al deformar el camino (siempre que los extremos del camino de integración se mantengan fijos), y en una región simplemente conectada U (región "sin agujeros") cualquier camino desde a a z dentro de U puede ser continuamente deformada dentro de U en otra. Todo este razonamiento lleva a la siguiente definición:

Cualquier mapa holomorfo ${displaystyle fcolon U o mathbb {C} }$ que satisfaga ${displaystyle f'(z) eq 0}$ para todo ${displaystyle zin U}$ es una transformación conforme, lo que significa que si dos curvas que pasan a través de un punto a de U forman un ángulo α (en el sentido de que las líneas tangentes a las curvas en a forman un ángulo α), entonces las imágenes de las dos curvas forman el mismo ángulo α en f(a).

Como una ramificación de log z es holomorfa, y como su derivada 1/z no es nunca 0, esta función define un transformación conforme.

Por ejemplo, la ramificación principal w = Log z, vista como un mapeo de ${displaystyle mathbb {C} -mathbb {R} _{leq 0}}$ a la banda horizontal definida por |Im z| < π, tiene las siguientes propiedades, que son una consecuencia directa de la fórmula del logaritmo en términos de la expresión de z en su forma polar:

Cada círculo y rayo en el z-plano se cortan perpendicularmente. Sus imágenes bajo Log son segmentos verticales y líneas horizontales (repectivamente) en el w-plano, y por tanto también se cortan perpendicularmente. Esta es una ilustración de la propiedad de transformación conforme del logaritmo.

Las distintas ramificaciones de log z no pueden pegarse para dar una función ${displaystyle log colon mathbb {C} ^{*} o mathbb {C} }$ porque dos ramas pueden dar distintos valores en puntos en los que las dos están definidas. Compárese por ejemplo la rama del valor principal Log(z) en ${displaystyle mathbb {C} -mathbb {R} _{leq 0}}$ con parte imaginaria θ en (−π,π) y la ramificación L(z) en ${displaystyle mathbb {C} -mathbb {R} _{geq 0}}$ cuya parte imaginaria θ cae en (0,2π). Ambas ramificaciones coinciden en el semiplano superior, pero no en el semiplano inferior. Así que tiene sentido pegar los dominios de dichas ramificaciones sólo sobre el semiplano superior. El dominio resultante tras el pegado es conectado, pero tiene dos copias del semiplano inferior. Estas copias pueden visualizarse como dos niveles de un aparcamiento (que llamaremos de forma obvia niveles Log y L), y se puede llegar desde el nivel Log del semiplano inferior hasta el nivel L del semiplano inferior yendo 360º en sentido antihorario alrededor de 0, primero cruzando el eje real positivo (del nivel Log) en la copia compartida del semiplano superior y luego cruzando el eje real negativo (del nivel L) en el nivel L del semiplano inferior.

Se puede continuar pegando ramificaciones con parte imaginaria θ en (π,3π), en (2π,4π), y así continuamente, y en la otra dirección ramificaciones con parte imaginaria en (−2π,0), en (−3π,−π) y más de la misma manera. El resultado final es una superficie conectada que puede ser vista como la rampa de ascenso de un aparcamiento (siguiendo con la analogía anterior) con infinitos niveles hacia arriba y hacia abajo. Esta es la superficie de Riemann R asociada a log z.

Un punto en R puede verse como un par (z,θ) donde θ es un posible valor del argumento de z. De esta manera, R puede ser encajado en ${displaystyle mathbb {C} imes mathbb {R} approx mathbb {R} ^{3}}$ como en la figura adjunta.

Debido a que los dominios de las ramificaciones se pegan sólo a lo largo de conjuntos abiertos donde sus valores coinciden, las ramificaciones pegadas dan lugar a una función bien definida ${displaystyle log _{R}colon R o mathbb {C} }$.^[6]​ Esto mapea cada punto (z,θ) en R a ln |z| + iθ. Este proceso de extensión de la ramificación original Log por el procedimiento de pegado de funciones compatibles holomorfas es conocido como continuación analítica.

Hay un "mapa de proyecciones" desde R a ${displaystyle mathbb {C} ^{*}}$ que proyecta la espiral mandando al par (z,θ) a z. Para cualquier ${displaystyle zin mathbb {C} ^{*}}$, si se cogen todos los puntos (z,θ) de R que caen "directamente por encima" de z y evaluamos log_R a todos estos puntos, se obtienen todos los posibles logaritmos de z.

En vez de pegar sólo las ramificaciones elegidas arriba, uno puede empezar con todas las ramificaciones de log z, y simultáneamente pegar todo para de ramificaciones ${displaystyle L_{1}colon U_{1} o mathbb {C} }$ y ${displaystyle L_{2}colon U_{2} o mathbb {C} }$ a lo largo del mayor subconjunto abierto de ${displaystyle U_{1}cap U_{2}}$ en el cual L₁ y L₂ coinciden. Este procedimiento nos da la misma superficie de Riemann R y la misma función log_R que el procedimiento anterior. Esta aproximación, aunque más difícil de visualizar, es más natural pues no requiere seleccionar ninguna ramificación particular.

Si U′ es una subconjunto abierto de R proyentado biyectivamente a su imagen U en ${displaystyle mathbb {C} ^{*}}$, entonces la restricción de log_R a U′ corresponde a una ramificación de log z definida en U. Toda ramificación de log z surge de esta manera.

El mapa de proyeción ${displaystyle R o mathbb {C} ^{*}}$ da cuenta de R como un espacio recubridor de ${displaystyle mathbb {C} ^{*}}$. De hecho, es un recubrimiento de Galois con grupo isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} }$, generado por el homeomorfismo de equivalencia de (z,θ) a (z,θ+2π).

Como una variedad compleja, R es biholomorfo a ${displaystyle mathbb {C} }$ via log_R. (El mapeo inverso manda z a (e^z, Im z)). Esto muestra que R es simplemente conectado, entonces R es el recubridor universal de ${displaystyle mathbb {C} ^{*}}$.

De la misma manera que para números reales, se puede definir log_ab = (log b)/(log a) para números complejos a y b, con la única salvedad de que sus valores dependen de la elección de la ramificación del logaritmo definido en a y b (con log a ≠ 0). Por ejemplo, usando valores principales, se obtiene

Si f es una función holomorfa sobre un subconjunto abierto U de ${displaystyle mathbb {C} }$, entonces una ramificación de log f en U es una función continua g en U tal que e^g(z) = f(z) para todo z in U. Tal función g es necesariamente holomorfa con g′(z) = f′(z)/f(z) para todo z in U.

Si U es un subconjunto abierto simplemente conexo de ${displaystyle mathbb {C} }$, y f es una función holomorma en U tal que no se hace cero en ningún punto z de U, entonces una ramificación de log f definida en U puede ser construida eligiendo un punto inicial a de U, un logaritmo b de f(a), y definiendo

para cada z de U.^[1]​

z = Re(Log(x + iy))

z = |Im(Log(x + iy))|

z = |Log(x + iy)|

Superposición de los tres gráficos anteriores

---