Fibrado principal

En matemáticas, un G-fibrado principal es una clase especial de fibrado para la cual las fibras son todas espacios homogéneos principales respecto a un grupo topológico.

Los G-fibrados principales son G-fibrados en el sentido que el grupo G también sirve como el grupo estructural del fibrado. Los fibrados principales tienen usos importantes en la topología y la geometría diferencial. También han encontrado el uso en física del donde forman la parte de la teoría de gauge. Los fibrados principales proporcionan un marco unificador en la teoría de los fibrados en el sentido que todos los fibrados con grupo estructural G determinan un único G-fibrado principal desde el cual puede ser reconstruido el fibrado original.

Un ${displaystyle G}$-fibrado principal es un fibrado ${displaystyle pi :P o X}$ junto a una acción a derecha continua ${displaystyle P imes G o P}$ por un grupo topológico ${displaystyle G}$ tal que ${displaystyle G}$ preserva las fibras de ${displaystyle P}$ y la acción es libre y transitiva. La fibra abstracta del fibrado se la toma como ${displaystyle G}$ (a menudo se requiere que el espacio base ${displaystyle X}$ sea un espacio de Hausdorff y posiblemente paracompacto).

Se sigue que las órbitas de la ${displaystyle G}$-acción son precisamente las fibras del fibrado y el espacio de órbitas es homeomorfo al espacio homogéneo ${displaystyle P/G}$.

Un ${displaystyle G}$-fibrado principal puede también ser caracterizado como un ${displaystyle G}$-fibrado ${displaystyle pi :P o X}$ con fibra ${displaystyle G}$ donde el grupo de la estructura actúa en la fibra por la multiplicación a izquierda. Puesto que la multiplicación a derecha por ${displaystyle G}$ en la fibra conmuta con la acción del grupo estructural, existe una noción invariante de multiplicación a derecha de ${displaystyle G}$ sobre ${displaystyle P}$.

La noción de fibrado principal se puede extender a la categoría de lasvariedades diferenciables, requiriendo que ${displaystyle pi :P o X}$ sea una aplicación diferenciable entre variedades, ${displaystyle G}$ un grupo de Lie y que la acción de ${displaystyle G}$ sobre ${displaystyle P}$ sea diferenciable.

El ejemplo más común de un fibrado principal diferenciable es el fibrado de referencias, también llamado fibrado de marcos, de una variedad ${displaystyle M}$. La fibra sobre un punto ${displaystyle xin M}$ es el sistema de todos las referencias (es decir bases ordenadas) del espacio tangente ${displaystyle T_{x}M}$. El grupo general lineal ${displaystyle GL(n,mathbb {R} )}$ actúa en forma simple y transitiva sobre el conjunto de bases. Estas fibras se pueden unir de manera natural para obtener un ${displaystyle GL(n,mathbb {R} )}$-fibrado principal sobre ${displaystyle M}$.

Variaciones en el ejemplo anterior incluyen el fibrado de referencias ortonormales de una variedad riemanniana. Aquí las referencias deben ser bases ortonormales respecto a la métrica. El grupo estructural es el grupo ortogonal ${displaystyle O(n)}$.

Si ${displaystyle X}$ es un espacio topológico y ${displaystyle p:C o X}$ es un cubrimiento normal (regular), esto último puede ser considerado un fibrado principal donde el grupo estructural ${displaystyle pi _{1}(X)/p_{*}pi _{1}(C)}$ actúa sobre ${displaystyle C}$ vía la acción de monodromía. En particular, el cubrimiento universal de un espacio topológico ${displaystyle X}$ es un fibrado principal sobre ${displaystyle X}$ con grupo estructural ${displaystyle pi _{1}(X)}$.

Sean ${displaystyle G}$ un grupo de Lie y ${displaystyle H}$ un subgrupo cerrado (no necesariamente normal). Entonces ${displaystyle G}$ es un ${displaystyle H}$-fibrado principal sobre el espacio cociente (izquierdo) ${displaystyle G/H}$. Aquí la acción de ${displaystyle H}$ en ${displaystyle G}$ es la multiplicación a derecha. Las fibras son los coconjuntos a izquierda de ${displaystyle H}$ (en este caso hay una fibra distinguida, la que contiene la identidad, que es naturalmente isomorfa a ${displaystyle H}$).

Consideremos la proyección ${displaystyle pi :S^{1} o S^{1}}$ dada por ${displaystyle zmapsto z^{2}}$. Este ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$-fibrado principal es el fibrado asociado a la banda de Moebius.

Los espacios proyectivos proporcionan ejemplos interesantes de fibrados principales. Recordemos que la ${displaystyle n}$-esfera ${displaystyle S^{n}}$es un cubrimiento doble del espacio proyectivo real ${displaystyle mathbb {R} mathbb {P} ^{n}}$. La acción natural de ${displaystyle O(1)}$ sobre ${displaystyle S^{n}}$ da la estructura de ${displaystyle O(1)}$-fibrado principal sobre ${displaystyle mathbb {R} mathbb {P} ^{n}}$. Asimismo, ${displaystyle S^{2n+1}}$ es un ${displaystyle U(1)}$-fibrado principal sobre ${displaystyle mathbb {C} mathbb {P} ^{n}}$ y ${displaystyle S^{4n+3}}$ es un ${displaystyle Sp(1)}$-fibrado principal sobre el espacio proyectivo cuaterniónico ${displaystyle mathbb {H} mathbb {P} ^{n}}$. Entonces tenemos una serie de fibrados principales para cada entero positivo ${displaystyle n}$:

Aquí ${displaystyle S(V)}$ denota la esfera unidad en ${displaystyle V}$. Por todos estos ejemplos el caso ${displaystyle n=1}$ da los fibrados de Hopf.

Una de las preguntas más importantes con respecto a un espacio fibrado es si es o no un fibrado trivial (es decir isomorfo a un fibrado producto). Para los fibrados principales hay una caracterización conveniente de la trivialidad:

Este resultado no es cierto para fibrados en general. En particular los fibrados vectoriales, por ejemplo, tienen siempre la sección cero, sean triviales o no.

El mismo teorema se aplica a las trivializaciones locales de fibrados principales. Sea ${displaystyle pi :P o X}$ un ${displaystyle G}$-fibrado principal. Un conjunto abierto ${displaystyle U}$ en ${displaystyle X}$ admite una trivialization local si y solamente si existe una sección local en ${displaystyle U}$. Dado una trivialización local ${displaystyle phi :pi ^{-1}(U) o U imes G}$ podemos definir una sección local asociada

donde ${displaystyle e}$ es la identidad en ${displaystyle G}$. Recíprocamente, dado una sección local ${displaystyle s}$ podemos definir una trivialización ${displaystyle phi }$ por

El hecho de que ${displaystyle G}$ actúa en forma simple y transitiva garantiza que esta aplicación es una biyección. Es posible comprobar que también es un homeomorfismo. Los trivializaciones locales definidas por una sección local son ${displaystyle G}$-equivariantes en el sentido siguiente: si escribimos

en la forma

entonces la aplicación ${displaystyle varphi :P o G}$ satisface

En términos de las secciones locales ${displaystyle s}$, la aplicación ${displaystyle varphi }$ viene dada por

La versión local del teorema de la sección entonces indica que las trivializaciones locales equivariantes de un fibrado principal están en correspondencia con las secciones locales.

Sea ${displaystyle ({U_{i}},{phi _{i}})}$ una trivialización local equivariante de ${displaystyle P}$ y ${displaystyle s_{i}}$ las secciones locales inducidas en cada ${displaystyle U_{i}}$. En ${displaystyle U_{i}cap U_{j}}$ las secciones ${displaystyle s_{i}}$ y ${displaystyle s_{j}}$ están relacionadas por el grupo ${displaystyle G}$. En efecto, las funciones de transición entre las diferentes trivializaciones, dadas por

en la primera coordenada resultan ser la identidad y envían

Luego para cualquier ${displaystyle xin U_{i}cap U_{j}}$ tenemos

Si ${displaystyle pi :P o X}$ es un ${displaystyle G}$-fibrado principal diferenciable, entonces ${displaystyle G}$ actúa en forma propia y libre en ${displaystyle P}$ de modo que el espacio de órbitas ${displaystyle P/G}$ es difeomorfo al espacio base ${displaystyle X}$. Resulta que esto caracteriza completamente a los fibrados principales diferenciables. Esto es, si ${displaystyle P}$ es una variedad diferenciable, ${displaystyle G}$ es un grupo de Lie y ${displaystyle mu :P imes G o P}$ una acción a derecha diferenciable, libre y propia entonces

Sea ${displaystyle pi :P o X}$ es un ${displaystyle G}$-fibrado principal. Dado un subgrupo ${displaystyle Hsubset G}$, podemos considerar el fibrado ${displaystyle P/H}$ cuyas fibras son los coconjuntos ${displaystyle G/H}$. Si el nuevo fibrado admite una sección global, diremos que la sección es una reducción del grupo estructural de ${displaystyle G}$ al de ${displaystyle H}$. En particular, si el ${displaystyle H}$ es la identidad, entonces una reducción de ${displaystyle G}$ a la identidad es equivalente a tener una sección global del fibrado original, lo cual es equivalente a que el fibrado sea trivial. En general no existen las reducciones del grupo estructural.

Muchas preguntas sobre la estructura topológica de un fibrado se pueden reformular como preguntas sobre la admisibilidad de la reducción del grupo estructural. Por ejemplo:

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