Matriz jacobiana

En cálculo vectorial, la matriz Jacobiana de una función vectorial de varias variables es la matriz cuyos elementos son las derivadas parciales de primer orden de dicha función.

Suponga que ${displaystyle mathbf {F} :mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{m}}$ es una función tal que sus derivadas parciales de primer orden existen en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$. Esta función función toma un punto ${displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} ^{n}}$ y devuelve un vector ${displaystyle mathbf {F} (mathbf {x} )in mathbb {R} ^{m}}$. La matriz Jacobiana de ${displaystyle mathbf {F} }$, denotada por ${displaystyle mathbf {J} }$, está definida como una matriz de tamaño ${displaystyle m imes n}$ cuya ${displaystyle (i,j)}$-ésima entrada es

o de forma explícita

donde ${displaystyle abla ^{T}f_{i}}$ es la traspuesta del gradiente de la ${displaystyle i}$-ésima componente.

Esta matriz, cuyas entradas son funciones de ${displaystyle mathbf {x} }$, es denotada de diversas maneras, algunas de ellas son:

Cuando ${displaystyle m=n}$, la matriz Jacobiana es cuadrada por lo que su determinante es una función de ${displaystyle mathbf {x} }$, este determinante es conocido como el determinante Jacobiano de ${displaystyle mathbf {F} }$. El determinante Jacobiano aparece cuando se hace un cambio de variables en integrales múltiples.

Cuando ${displaystyle m=1}$, esto es, cuando ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} }$ es una función escalar de ${displaystyle n}$ variables, entonces la matriz Jacobiana se reduce a un vector fila. Este vector fila con todas las derivadas parciales de primer orden de ${displaystyle f}$ es la traspuesta del gradiente de ${displaystyle f}$, es decir, ${displaystyle mathbf {J} _{f}= abla ^{T}f}$. Y cuando ${displaystyle m=n=1}$, esto es, cuando ${displaystyle f:mathbb {R} o mathbb {R} }$ es una función escalar de una variable entonces la matriz Jacobiana sólo tiene una entrada, esta entrada es la derivada de la función ${displaystyle f}$.

En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida.

Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.

La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera ${displaystyle mathbf {F} :mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{m}}$ continua, es decir ${displaystyle mathbf {F} in {mathcal {C}}^{(k)}(mathbb {R} ^{n},mathbb {R} ^{m})}$ se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal ${displaystyle {oldsymbol {lambda }}in {mathcal {L}}(mathbb {R} ^{n},mathbb {R} ^{m})}$ tal que:

Si ${displaystyle mathbf {p} }$ es un punto en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ y ${displaystyle mathbf {F} }$ es diferenciable en ${displaystyle mathbf {p} }$ entonces su diferencial está dada por J_F(p). En este caso, la aplicación lineal descrita por J_F(p) es la mejor aproximación lineal de ${displaystyle mathbf {F} }$ cerca del punto ${displaystyle mathbf {p} }$, de esta manera:

para ${displaystyle mathbf {x} }$ cerca de ${displaystyle mathbf {p} }$. O con mayor precisión:

En ciertos espacios vectoriales de dimensión no finita, formados por funciones, puede generalizarse el concepto de matriz jacobiana definiendo una aplicación lineal jacobiana.

Si ${displaystyle m=n}$ entonces ${displaystyle mathbf {F} }$ es una función que va de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ a ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ y en este caso la matriz jacobiana es una matriz cuadrada, por lo que podemos calcular su determinante, este es conocido como el determinante jacobiano. El determinante jacobiano en ocasiones es conocido simplemente como “el Jacobiano”.

El determinante jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el comportamiento de ${displaystyle mathbf {F} }$ cerca de ese punto. Una función continuamente diferenciable ${displaystyle mathbf {F} }$ es invertible cerca del punto ${displaystyle mathbf {p} in mathbb {R} ^{n}}$ si el determinante jacobiano en ${displaystyle mathbf {p} }$ es no nulo. Este es el teorema de la función inversa. Más aún, el valor absoluto del determinante en ${displaystyle mathbf {p} }$ nos da el factor con el cual ${displaystyle mathbf {F} }$ expande o contrae su volumen cerca de ${displaystyle mathbf {p} }$.

De acuerdo al teorema de la función inversa, la matriz inversa de la matriz Jacobiana de una función invertible es la matriz Jacobiana de la función inversa. Esto es, si el Jacobiano de una función ${displaystyle mathbf {F} :mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{n}}$ es continua y no singular en el punto ${displaystyle mathbf {p} in mathbb {R} ^{n}}$ entonces ${displaystyle mathbf {F} }$ es invertible cuando se restringe a un entorno de ${displaystyle mathbf {p} }$ y

Si el determinante jacobiano es diferente de cero en un punto entonces la función es localmente invertible cerca de este punto, esto es, existe un entorno de este punto en el que la función es invertible.

Si ${displaystyle mathbf {F} :mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{m}}$ es una función diferenciable, un punto crítico de ${displaystyle mathbf {F} }$ es un punto en el que el rango de la matriz jacobiana es no maximal.

En el caso en que ${displaystyle m=n=k}$, un punto es crítico si el determinante jacobiano es cero.

La matriz jacobiana de la función ${displaystyle mathbf {F} :mathbb {R} ^{3} o mathbb {R} ^{3}}$ dada por

cuyas funciones componentes son

es

La matriz jacobiana NO siempre es cuadrada. Véase el siguiente ejemplo.

Supóngase la función ${displaystyle mathbf {F} :mathbb {R} ^{3} o mathbb {R} ^{4}}$, cuyas funciones componentes son:

tiene asociada como matriz jacobiana

La transformación de coordenadas polares ${displaystyle (r, heta )}$ a coordenadas cartesianas ${displaystyle (x,y)}$ está dada por la función ${displaystyle mathbf {F} :mathbb {R} ^{+} imes [0,2pi ) o mathbb {R} ^{2}}$ cuyas componentes son

el jacobiano de ${displaystyle mathbf {F} }$ está dado por:

y el determinante del jacobiano es ${displaystyle r}$ pues

y esto puede ser utilizado para transformar integrales entre dos sistemas de coordenadas:

El determinante jacobiano de la función ${displaystyle mathbf {F} :mathbb {R} ^{3} o mathbb {R} ^{3}}$ dada por:

es:

El teorema de la función inversa garantiza que la función es localmente invertible en todo el dominio excepto quizá donde ${displaystyle x_{1}=0}$ o ${displaystyle x_{2}=0}$ (es decir, los valores para los que el determinante se hace cero). Si imaginamos un objeto pequeño centrado en el punto (1,1,1) y le aplicamos F, tendremos un objeto aproximadamente 40 veces más voluminoso que el original.

Cambiando un poco la función anterior por ésta:

El determinante jacobiano quedará:

En este caso existen más valores que anulan al determinante. Por un lado ${displaystyle x_{2}=0}$, y por otro:

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