Teorema de Parseval

En matemáticas, la Relación de Parseval demuestra que la Transformada de Fourier es unitaria; es decir, que la suma (o la integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o a la integral) del cuadrado de su transformada. Esta relación procede de un teorema de 1799 sobre series, cuyo creador fue Marc Antoine Parseval. Esta relación se aplicó más tarde a las Series de Fourier.

Aunque la Relación de Parseval se suele usar para indicar la unicidad de cualquier transformada de Fourier, sobre todo en física e ingeniería, la forma generalizada de este teorema es la Relación de Plancherel.

En física e ingeniería, la Relación de Parseval se suele escribir como:

donde ${displaystyle {mathcal {F}}[f(t)](alpha )}$ representa la transformada continua de Fourier de ${displaystyle f(t)}$ y ${displaystyle alpha }$ representa la frecuencia (en hercios) de ${displaystyle f}$.

La interpretación de esta fórmula es que la energía total de la señal ${displaystyle f(t)}$ es igual a la energía total de su transformada de Fourier ${displaystyle {mathcal {F}}[f(t)]}$ a lo largo de todas sus componentes frecuenciales.

Para señales de tiempo discreto, la relación es la siguiente:

donde ${displaystyle X}$ es la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de ${displaystyle x}$ y ${displaystyle phi }$ representa la frecuencia angular (en radianes) de ${displaystyle x}$.

Por otro lado, para la transformada discreta de Fourier (DFT), la relación es:

donde ${displaystyle X[k]}$ es la DFT de ${displaystyle x[n]}$, ambas de longitud ${displaystyle N}$.

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