Frecuencia angular

La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado por una unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega ω. Su unidad en el Sistema Internacional es el radián por segundo (rad/s).

Aunque se la define para el movimiento de rotación del sólido rígido, también se la emplea en la cinemática de la partícula o punto material, especialmente cuando esta se mueve sobre una trayectoria cerrada (circular, elíptica, etc).

Para un objeto que gira alrededor de un eje, en cada punto a lo largo del trayecto, el objeto tiene la misma velocidad angular. La velocidad tangencial de cualquier punto es proporcional a su distancia del eje de rotación. Las unidades de velocidad angular son los radianes/segundo, de modo que su valor instantáneo queda definido por la derivada:

${displaystyle omega =lim _{Delta t o 0}{frac {Delta mathbf { heta } }{Delta t}}={frac {d heta }{dt}}}$

En un movimiento circular uniforme, dado que una revolución completa representa 2π radianes, tenemos:

${displaystyle omega ={frac {2pi }{T}}=2pi f}$

donde T es el período (tiempo en dar una vuelta completa) y f es la frecuencia (número de revoluciones o vueltas por unidad de tiempo). De modo que

${displaystyle omega ={frac {2pi }{T}}={frac {v}{r}}qquad Rightarrow qquad v=omega r,}$

En el caso de un movimiento plano no circular general hay que definir la velocidad angular siempre respecto de un punto. Por ejemplo, al estudiar la órbita de la tierra respecto del sol, el punto más apropiado será el foco de la elipse donde se encuentra el sol.

La velocidad angular será la tasa de variación del angulo subtendido del vector de posición r respecto del punto dado, y su valor numérico dependerá del punto escogido.

Dado que el movimiento radial desde el punto dado no contribuye a aumentar el angulo subtendido, solo la componente tangencial lo hará. Por tanto podemos decir

${displaystyle omega ={frac {v.sin heta }{r}}}$

Multiplicando arriba y abajo por el radio vector:

${displaystyle omega ={frac {v.r.sin heta }{r^{2}}}}$

Lo que apunta a que puede escribirse en función del producto vectorial r x v

Se define el vector velocidad angular ω, como un vector axial paralelo al eje de rotación, cuyo módulo es el valor de la velocidad angular anteriormente definida, o sea

(1)${displaystyle {omega }={d heta over dt}}$

, cuya dirección es la del eje de giro y cuyo sentido coincide con el del avance de un tornillo que girase en el sentido en que lo hace el sólido (regla de la mano derecha). Si designamos por e al vector que indica la dirección del eje, y cuya dirección sea la definida por la regla anterior, tenemos

(2)${displaystyle mathbf {omega } ={d heta over dt}mathbf {e} Rightarrow omega mathbf {e} ={dmathbf { heta } over dt}}$

donde hemos considerado al elemento de ángulo dθ como un vector dθ, de módulo dθ, cuya dirección está definida por la regla del tornillo. Llamando e_t y e_n a los vectores tangencial y normal, respectivamente, a la trayectoria del punto genérico P, la velocidad de ese punto puede expresarse en la forma

(3)${displaystyle mathbf {v} =vmathbf {e} _{t}=romega (mathbf {e} _{n} imes mathbf {e} )=(rmathbf {e} _{n}) imes (omega mathbf {e} )={overrightarrow { ext{PO}}} imes mathbf {omega } }$

de modo que podemos afirmar:

Así pues, conocida la velocidad angular ω queda determinada la distribución de velocidades en todos los puntos del sólido rígido en rotación. La expresión [8] puede escribirse en la forma

(4)${displaystyle mathbf {v} =mathbf {omega } imes {overrightarrow { ext{OP}}}=mathbf {omega } imes mathbf {r} }$

donde ${displaystyle mathbf {r} ={overrightarrow { ext{OP}}}}$ es el vector de posición del punto genérico P con respecto a un punto cualquiera del eje de rotación.

Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidad angular ω tenga carácter deslizante sobre el eje de rotación.

Es importante destacar que el "vector" velocidad angular no es un vector polar, sino un pseudovector o vector axial. Por esta razón, en teoría de la relatividad, donde el espacio-tiempo tiene cuatro dimensiones, no puede ser representado por ningún tetravector, razón por la cual en teoría de la relatividad la velocidad angular se representa por un 2-tensor antisimétrico, que tiene que satisfacer las leyes de transformación adecuadas bajo las transformaciones de Lorentz. En la siguiente sección se dan algunos detalles adicionales, sobre por qué la velocidad angular se puede representar por un tensor antisimétrico.

Esto vale tanto para un sistema de referencia rotatorio como para un sólido rígido

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación. Cualquier vector tridimensional que gira alrededor de un eje con velocidad angular ${displaystyle {vec {omega }}}$ (de acuerdo a las definiciones anteriores) satisface:

${displaystyle {frac {dmathbf {r} (t)}{dt}}={oldsymbol {omega }} imes mathbf {r} }$

Puede introducirse ahora el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular anterior ${displaystyle {oldsymbol {omega }}}$ como

Este tensor antisimétrico ${displaystyle scriptstyle mathbf {W} (t)}$ actúa como si ${displaystyle scriptstyle ({oldsymbol {omega }} imes )}$ fuera un operador:

${displaystyle {oldsymbol {omega }}(t) imes mathbf {r} (t)=mathbf {W} (t)mathbf {r} (t)}$

Dada una matriz de rotación ${displaystyle scriptstyle mathbf {W} (t)}$, se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular W como se muestra a continuación, se cumple que:

${displaystyle {frac {dmathbf {r} (t)}{dt}}=mathbf {W} cdot mathbf {r} }$

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz ${displaystyle scriptstyle mathbf {R} (t)}$ cuyas tres columnas son tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

(*)${displaystyle {frac {dmathbf {R} (t)}{dt}}=mathbf {W} cdot mathbf {R} (t)}$

Y por tanto la velocidad angular se puede definir simplemente como:

${displaystyle mathbf {W} ={frac {dmathbf {R} (t)}{dt}}cdot mathbf {R} ^{T}(t)}$

Otra forma de obtener directamente la velocidad angular de una rotación es derivando la relación:

${displaystyle mathbf {R} (t)mathbf {R} ^{T}(t)=mathbf {mathrm {Id} } quad Rightarrow {dot {mathbf {R} }}(t)mathbf {R} ^{T}(t)+mathbf {R} (t){dot {mathbf {R} }}^{T}(t)=mathbf {0} }$

De donde se obtiene que la matriz antisimétrica definida como:

${displaystyle mathbf {W} (t):={dot {mathbf {R} }}(t)mathbf {R} ^{T}(t)=-mathbf {R} (t){dot {mathbf {R} }}(t)^{T}(t)}$

Coincide con la definición dada antes para el tensor velocidad angular. Puede demostrarse que cualquier grupo uniparamétrico de matrices de rotación puede obtenerse como la curva integral de la siguiente ecuación diferencial (*) cuya solución se puede expresar como exponencial de una matriz como:

${displaystyle mathbf {R} (t)=mathbf {R} (0)cdot exp left(int _{0}^{t}mathbf {W} (t)dt ight)}$

La definición de la velocidad angular como tensor permite generalizar el concepto de velocidad angular a un espacio euclídeo de dimensión ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$ para n > 3.

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