Seno (matemáticas)

En matemática, el seno es una de las seis funciones trigonométricas, llamadas también funciones circulares;^[1]​ es una función real cuyo dominio es ${displaystyle mathbb {R} }$ (el conjunto de los números reales) y cuyo codominio es el intervalo cerrado ${displaystyle [-1,1]}$:

se denota ${displaystyle f(x)=operatorname {sen}(x)}$ para todo ${displaystyle xin mathbb {R} }$. El nombre se abrevia como sen en la forma española y sin en las formas inglesa y latina.^[2]​^[3]​^[4]​

El astrónomo y matemático indio Aria Bhatta (476–550 e.c.) estudió el concepto de «seno» con el nombre sánscrito de ardhá-jya,^[5]​ siendo अर्ध ardha: «mitad, medio», y ज्या jya: «cuerda»). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término como جِيبَ jiba . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir «bahía», «cavidad» o «seno»).

A finales del siglo XII, el traductor italiano Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazando el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía, seno’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».^[6]​

Según otra explicación,^{[cita requerida]} la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscriptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó sinus.

En trigonometría, el seno de un ángulo ${displaystyle alpha ,}$ de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa:

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo ${displaystyle alpha .}$

Si ${displaystyle B}$ pertenece a la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia de radio uno con ${displaystyle O=A}$ se tiene:

Ya que ${displaystyle c=AB=1}$.

Esta construcción permite representar el valor del seno para ángulos agudos (no obtusos) y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector ${displaystyle {vec {AB}}}$ mediante su descomposición en los vectores ortogonales ${displaystyle {vec {AC}}}$ y ${displaystyle {vec {CB}}}$.

El seno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

El seno es una función impar, es decir:

El seno es una función periódica de periodo ${displaystyle 2pi }$,

La curva del coseno es la curva del seno desplazada ${displaystyle {frac {pi }{2}}}$ a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

Como ${displaystyle operatorname {sen} ^{2}alpha +cos ^{2}alpha =1}$, despejando sen α se obtiene:

Como ${displaystyle sec ^{2}alpha =1+ an ^{2}alpha }$, despejando y reemplazando ${displaystyle sec alpha }$ se obtiene:

Sabiendo que ${displaystyle operatorname {sen} alpha ={frac {1}{csc alpha }}}$, y que ${displaystyle csc ^{2}alpha =1+cot ^{2}alpha }$, entonces:

Como ${displaystyle sec ^{2}alpha =1+ an ^{2}alpha }$, despejando y reemplazando ${displaystyle an alpha }$ se obtiene:

El seno y la cosecante son inversos multiplicativos:

${displaystyle operatorname {sen} left(alpha -eta ight)=operatorname {sen} alpha cos eta -cos alpha operatorname {sen} eta }$

Bastará con el cambio ${displaystyle eta =alpha ,}$

resulta:

y aislando ${displaystyle operatorname {sen} heta }$:

El cambio ${displaystyle heta ={frac {alpha }{2}}}$ corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno:

donde ${displaystyle kin mathbb {Z} }$.

${displaystyle operatorname {sen} a-operatorname {sen} b=2cos left({frac {a+b}{2}} ight)operatorname {sen} left({frac {a-b}{2}} ight)}$

Luego sumando o restando según convenga salen ambas ecuaciones.

La función seno puede definirse mediante un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

si la condición inicial es (0,1) entonces su solución es ${displaystyle x=operatorname {sen}(t)}$ e ${displaystyle y=cos(t)}$.

El seno como Serie de Taylor en torno a a = 0 es:

En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:

donde ${displaystyle e}$ es la base del logaritmo natural, e ${displaystyle i}$ es la unidad de los números imaginarios.

Mediante las identidades del senos y cosenos aplicado a ${displaystyle e^{-iz}}$ se tiene también que:

Restando la segunda ecuación a la primera se tiene:

de donde despejando el seno se obtiene lo que se quiere.

Gran parte de los lenguajes de programación tienen la función seno en sus librerías.

La mayoría de los modelos de calculadoras están configurados y aceptan el valor de un ángulo cualquiera en los tres sistemas estándares de referencia angular: grados sexagesimales, grados centesimales y radianes.

Ejemplos:

Obsérvese que la diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, entonces, pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo π es el número Pi. Ejemplo de conversiones:

La comprobación del modo en curso de una calculadora se hace con valores conocidos: ${displaystyle pi }$ y 90º:

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