Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad que vincula dos funciones trigonométricas y es válida en el dominio común o descartando los puntos que anulan alguna función en caso de ser divisor. Las funciones están ligadas por operaciones racionales y por potencias de exponente entero, aunque en algunos casos se recurre a la raíz cuadrada. Los ángulos se suman algebraicamente, se multiplican o se dividen por enteros positivos y luego actúan como argumento de alguna función.

Nota: la notación ${displaystyle operatorname {sen} ^{2}alpha }$ se define como ${displaystyle (operatorname {sen} alpha )^{2}}$. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

De estas identidades, se puede elaborar la siguiente tabla. Para obtener el signo correcto en algunos casos se necesitará saber los valores para los cuales la función trigonométrica en cuestión es negativa o positiva.

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

donde

Usando la función Atan2 también puede escribirse como

La identidad

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

Ejemplo 2:

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

${displaystyle cos(xpm y)=cos(x)cos(y)mp operatorname {sen}(x)operatorname {sen}(y)}$

${displaystyle an(xpm y)={frac { an(x)pm an(y)}{1mp an(x) an(y)}}}$

Primera demostración por semejanza de triángulos:

Para comprobar ${displaystyle operatorname {sen}(alpha +eta )=}$ ${displaystyle operatorname {sen}(alpha )cos(eta )+cos(alpha )operatorname {sen}(eta )}$ hace falta substituir las relaciones trigonométricas del dibujo construible:

simplificando ${displaystyle AD}$ y sacando factor común ${displaystyle {frac {AF}{AE}}}$ queda:

como ${displaystyle EF+FD=ED}$:

confirmándose el resultado por semejanza de triángulos.

Segunda demostración por áreas de triángulos:

La relación entre áreas del dibujo es:

aplicando fórmulas de áreas y con ${displaystyle acos alpha =bcos eta }$ se obtiene:

simplificando:

Demostración de ${displaystyle operatorname {sen}(x-y)=}$ ${displaystyle operatorname {sen}(x)cos(y)-cos(x)operatorname {sen}(y)}$ aplicando la identidad antes demostrada:

Demostración de ${displaystyle cos(x+y)=}$ ${displaystyle cos(x)cos(y)-operatorname {sen}(x)operatorname {sen}(y)}$ aplicando la primera identidad:

Demostración de ${displaystyle cos(x-y)=}$ ${displaystyle cos(x)cos(y)+operatorname {sen}(x)operatorname {sen}(y)}$ aplicando la identidad antes demostrada:

Demostración de ${displaystyle an(xpm y)={frac { an(x)pm an(y)}{1mp an(x) an(y)}}}$

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

Para ángulos complementarios:

Para ángulos opuestos:

Otras relaciones:

Si T_n es el n-ésimo Polinomio de Chebyshev, entonces

Fórmula de De Moivre:

Pueden obtenerse remplazándolo y por x —o sea, sen(x+x) = sen(2x)— en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sen²(x).

Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.

${displaystyle cos xcos y={cos(x+y)+cos(x-y) over 2}}$

${displaystyle operatorname {sen} xcos y={operatorname {sen}(x+y)+operatorname {sen}(x-y) over 2}}$

${displaystyle cos xoperatorname {sen} y={operatorname {sen}(x+y)-operatorname {sen}(x-y) over 2}}$

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:

1): ${displaystyle cos(x+y)=cos(x)cos(y)-operatorname {sen}(x)operatorname {sen}(y)}$
2): ${displaystyle cos(x-y)=cos(x)cos(y)+operatorname {sen}(x)operatorname {sen}(y)}$

Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:

3): ${displaystyle cos(x)cos(y)=cos(x+y)+operatorname {sen}(x)operatorname {sen}(y)}$

Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3) (al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría:

Simplificando el elemento sen(x)sen(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.

Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

Notar el cambio de signo.

${displaystyle operatorname {sen} a-operatorname {sen} b=;;;2cos left({frac {a+b}{2}} ight)operatorname {sen} left({frac {a-b}{2}} ight)}$

${displaystyle cos a+cos b=;;;2cos left({frac {a+b}{2}} ight)cos left({frac {a-b}{2}} ight)}$

${displaystyle cos a-cos b=-2operatorname {sen} left({frac {a+b}{2}} ight)operatorname {sen} left({frac {a-b}{2}} ight)}$

${displaystyle an apm an b={frac {operatorname {sen}(apm b)}{cos acos b}}}$

De la suma y diferencia de ángulos se tiene:

De la relación pitagórica tenemos:

Luego:

Análogamente se puede demostrar la otra relación.

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible expresar senos y cosenos en tangentes.

Teorema del coseno

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C

${displaystyle {frac {a}{operatorname {sen}(A)}}={frac {b}{operatorname {sen}(B)}}={frac {c}{operatorname {sen}(C)}}}$

El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados para posteriormente identificar los valores de las funciones trigonométricas.

La mayor parte de funciones trigonométricas admiten una formulación en términos de números complejos, algunos ejemplos:

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