Segmento circular

En geometría, un segmento circular (o segmento de un círculo) es la porción de un círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Sea R el radio del círculo, θ el ángulo central, c la longitud de la cuerda, s la longitud del arco, h la altura del segmento circular (sagita) , y d la altura de la porción triangular (apotema).

El área del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular.

Si el ángulo está en radianes.

Área en función de una altura ${displaystyle h_{L}}$ en caso de un cilindro horizontal con un nivel de agua ${displaystyle h_{L}}$:

${displaystyle d=-h_{L}+R}$

${displaystyle heta =2arccos left({frac {-h_{L}+R}{R}} ight)=2arccos left(1-{frac {h_{L}}{R}} ight)}$

El área del sector circular es: ${displaystyle A=pi R^{2}cdot {frac { heta }{2pi }}={frac {R^{2}cdot heta }{2}}}$

Si se bisecciona el ángulo ${displaystyle heta }$, y por tanto la porción triangular, se obtienen dos triángulos con área total:

Dado que el área del segmento es el área del sector menos el área de la porción triangular, se obtienen

${displaystyle A=R^{2}left({frac { heta }{2}}-sin {frac { heta }{2}}cos {frac { heta }{2}} ight)}$

De acuerdo con la identidad trigonométrica de ángulo doble ${displaystyle sin 2 heta =2sin heta cos heta ,}$, por lo tanto:

${displaystyle sin {frac { heta }{2}}cos {frac { heta }{2}}={frac {1}{2}}operatorname {sen} heta }$

con lo que resulta que el área es:

${displaystyle A=R^{2}left({frac { heta }{2}}-{frac {1}{2}}sin heta ight)={frac {R^{2}}{2}}left( heta -sin heta ight)}$

---