Operación matemática

Una operación matemática es una biyección sobre una tupla y que obtiene un resultado, aplicando unas reglas preestablecidas sobre la tupla.

Una característica importante de una operación matemática es el número de terminaos de la tupla: aridad. Siendo la de dos términos: operación binaria de gran importancia.

En álgebra, se usa lo que son las operaciones suma, resta, multiplicación y división. Una operación es la aplicación de un operador sobre los elementos de un conjunto que tiene. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como ley de composición.

En aritmética y cálculo el conjunto de partida puede estar formado por elementos de un único tipo (las operaciones aritméticas actúan sólo sobre números) o de varios (el producto de un vector por un escalar engloba al conjunto unión de vectores y escalares que conforman un espacio vectorial).

Dependiendo de cómo sean los conjuntos implicados en la operación con respecto al conjunto considerado principal según nuestras intenciones podemos clasificar las operaciones en dos tipos: internas y externas.

Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, conocido como el orden de prioridad o el orden de precedencia de las operaciones. Primero se calculan los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), luego las de exponenciaciones, luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, las sumas y las restas.

La relación de igualdad (=) es:

La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:

La relación de desigualdad (<) tiene las siguientes propiedades:

En el producto y en el cociente de números positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:

${displaystyle {egin{cases}+cdot -=-\+cdot +=+\-cdot -=+\-cdot +=-\end{cases}}}$

Una operación ${displaystyle f_{}^{}}$ es interna si, tanto los elementos iniciales como los finales pertenecen al único conjunto ${displaystyle A_{}^{}}$.

Que también puede expresarse:

O también:

Según la naturaleza del producto cartesiano inicial de la operación podemos diferenciar:

Diremos que ${displaystyle f_{}^{}}$ es una operación n-aria en el conjunto ${displaystyle A_{}^{}}$, si:

${displaystyle f:A_{}^{n} o A}$

a ${displaystyle n_{}^{}in mathbb {N} }$ se le llama la ariedad o anidad.

Una operación es binaria cuando ${displaystyle n}$ es igual a dos:

y también:

Ejemplo:

En el conjunto de los números naturales, ${displaystyle mathbb {N} }$, la operación de adición: ${displaystyle +:mathbb {N} imes mathbb {N} longrightarrow mathbb {N} }$, ${displaystyle (N,+),}$, con las diferentes expresiones:

donde a y b son los sumandos y c el resultado de la suma.

Una operación unaria, con un solo parámetro:

también suelen denominarse funciones.

Ejemplos:

Donde:

esto es:

Una operación 0-aria es cuando tenemos una operación ${displaystyle f:A^{0} o A}$ es decir:

Ejemplo: Una operación nularia suele devolver constantes, por ejemplo el valor de pi:

Que asigna a a el valor real del número pi.

Una ley de composición externa sobre un conjunto A con un conjunto B es una aplicación:

esta aplicación se dice que es una operación externa.

Ejemplo: Dado el conjunto ${displaystyle V_{2};}$ de los vectores en el plano y el conjunto de escalares ${displaystyle mathbb {R} }$ de números reales, tenemos que el producto de un número real por un vector en el plano es un vector en el plano:

Dado el vector:

Si lo multiplicamos por un escalar 3:

podemos ver que los dos vectores son del plano:

Partiendo de los conjuntos A y B distintos, y una aplicación:

se dice que también es una ley de composición externa. Por ejemplo el Producto escalar de dos vectores en el plano, da como resultado un número real, esto es:

Tomando los vectores del plano:

Y siendo su producto escalar:

Que da por resultado un número real, veamos un ejemplo numérico:

Operando

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