Mediatrices

La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como el lugar geométrico — la recta — cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento.

En efecto, sea ${displaystyle AB}$ el segmento que sea, determinado por los puntos ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$. Sea ${displaystyle M}$ el punto medio del segmento y ${displaystyle r}$ la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea ${displaystyle P}$ un punto sobre la recta ${displaystyle r}$. En la simetría axial respecto de la recta ${displaystyle r}$, el punto ${displaystyle P}$ es invariante y los puntos ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento ${displaystyle AP}$ se transforma en el segmento ${displaystyle BP}$, ambos segmentos son congruentes y el punto ${displaystyle P}$ equidista de los puntos ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$. En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta ${displaystyle r}$ pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión.

Recíprocamente, sea ${displaystyle AB}$ un segmento y sea ${displaystyle P}$ un punto que equidista de ${displaystyle A}$ y de ${displaystyle B}$, esto es que los segmentos ${displaystyle AP}$ y ${displaystyle BP}$ son iguales. Consideremos la bisectriz ${displaystyle R}$ del ángulo ${displaystyle APB}$ y sea ${displaystyle M}$ la intersección de dicha bisectriz con el segmento ${displaystyle AB}$.

Por construcción, los ángulos ${displaystyle APM}$ y ${displaystyle BPM}$ son iguales y en la simetría axial respecto de la recta ${displaystyle r}$ se transforman uno en el otro. Como los segmentos ${displaystyle PA}$ y ${displaystyle PB}$ son iguales, en esta simetría, los puntos ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto ${displaystyle M}$ es punto medio del segmento ${displaystyle AB}$ y que dicho segmento es perpendicular a la recta ${displaystyle r}$.

Para trazar la mediatriz de un segmento dado AB, se trazarán dos arcos de igual radio arbitrario (siempre mayores que la mitad de la longitud del segmento) con centros en los extremos del segmento. Los dos arcos se cortarán en dos puntos C y D que pertenecen a la mediatriz, puesto que cumplen la condición de equidistar de los extremos del segmento.

Las mediatrices de un polígono cíclico son las mediatrices de sus lados, es decir, las perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Estas se cortan en un punto que se denomina circuncentro, el cual es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del polígono, es decir, de la circunferencia circunscrita al polígono.

Esto se debe a que la mediatriz de una cuerda dada en cualquier circunferencia pasa necesariamente por el centro de la misma. Aplicando las mediatrices a los lados del polígono cíclico como si de cuerdas de circunferencia se tratara, obtenemos que las intersecciones de las mismas constituyen el centro de la circunferencia que contiene todas ellas y por tanto, la circunferencia circunscrita.

No todos los polígonos simples convexos son polígonos cíclicos, entre los polígonos cíclicos se encuentran todos los triángulos, los cuadriláteros cíclicos y todos los polígonos regulares simples.

Por la propiedad antes mencionada, en todo triángulo ABC las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo punto, llamado el circuncentro (O) del triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia de centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha circunferencia es circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.

---