Circunferencia

La circunferencia es una curva plana y cerrada tal que todos sus puntos están a igual distancia del centro.^[1]​

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan a otro punto llamado centro.

Distíngase de círculo, cuyo lugar geométrico queda determinado por una circunferencia, y la región del plano que encierra esta.

El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia. Cuando usaban los carros con ruedas, era primordial relacionar el diámetro o radio con la circunferencia.^[2]​

Elementos relevantes de la circunferencia, heredados por el círculo:

La longitud de una circunferencia en función del radio ${displaystyle r}$ o del diámetro ${displaystyle d=2cdot r}$ es:

donde ${displaystyle pi =3,14159dots }$ es la constante pi.

El área del círculo o de la región del plano delimitada por una circunferencia:

Posiciones de los puntos respecto de la circunferencia:

Posiciones de las rectas respecto de la circunferencia:

Se llama punto de tangencia cada uno de los puntos que comparte la circunferencia con los diferentes elementos tangentes, es decir, el punto donde se produce la tangencia. En todo punto de la circunferencia se pueden hacer tangencias.

Posiciones entre circunferencias:

Posición de los ángulos respecto de una circunferencia, puede ser:

En el ángulo central su amplitud ${displaystyle alpha }$ y el radio ${displaystyle r}$ de la circunferencia, determina la longitud del arco ${displaystyle ell ,}$ resaltado en la figura en azul. Si el ángulo está en grados:

Es decir, el arco es directamente proporcional al ángulo central, y que simplificando queda la fórmula buscada.

Si el ángulo está en radianes:

El arco capaz relaciona el ángulo central, inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito siempre que las intersecciones de los lados mantengan la misma distancia.

Si el ángulo inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito tienen la misma amplitud ${displaystyle alpha }$, entonces, determinan la misma longitud de arco, de color azul en la imagen, sobre una misma circunferencia de radio ${displaystyle r}$. Si el ángulo está en grados:

Simplificando queda la fórmula buscada.

Si el ángulo está en radianes:

Diversos tipos de ángulos aparecen en el análisis de la potencia de un punto respecto de una circunferencia.

Diremos que una circunferencia está circunscrita a un polígono cuando todos los vértices de dicho polígono están sobre esta, se dice que este polígono está inscrito.

Diremos que una circunferencia está inscrita a un polígono cuando sea tangente a todos los lados de dicho polígono, se dice que este polígono está circunscrito.

La circunferencia se puede representar mediante ecuaciones o funciones que determinan la posición de cada uno de sus puntos. Para ello solo hace falta garantizar que la distancia de cada punto ${displaystyle P}$ de la circunferencia a su centro ${displaystyle C}$ sea constante para cada una de las ecuaciones y funciones que se tenga.

Una circunferencia queda determinada por un centro ${displaystyle C=(a,,b)}$ y un radio ${displaystyle r}$, por tanto, su ecuación queda determinada al imponer que la distancia de sus puntos, ${displaystyle P=(x,,y)}$, al centro sea constante, es decir, ${displaystyle |P-C|=r}$ dando la siguiente ecuación:^[6]​^[7]​

Su representación en un sistema de coordenadas viene dada por cada punto de la forma ${displaystyle (x,,y)}$ que satisfacen la ecuación.

La ecuación anterior es más sencilla si está centrada en el origen de coordenadas ${displaystyle C=(0,,0):}$

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio uno se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica y su ecuación es:^[8]​^[9]​^[10]​^[11]​^[12]​

Su función implícita es ${displaystyle f(x,,y)=x^{2}+y^{2}-1}$ y para representar la circunferencia se buscan los puntos del plano que cumplen la ecuación ${displaystyle f(x,,y)=0.}$

y por tanto ${displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-F}$ de donde:

${displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=}$ ${displaystyle x^{2}-xcdot x_{1}-xcdot x_{2}+x_{1}cdot x_{2}+y^{2}-ycdot y_{1}-ycdot y_{2}+y_{1}cdot y_{2}}$

Finalmente se debe observar que los dos puntos anulan la ecuación y probar que el punto medio es el centro.

La circunferencia con centro en ${displaystyle C=(a,,b)}$ y radio ${displaystyle r}$ se puede parametrizar usando funciones trigonométricas de un solo parámetro ${displaystyle heta }$ para obtener una función paramétrica ${displaystyle r_{C}( heta )=(x,,y):}$

También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como

Si se sustituye sobre la circunferencia unidad ${displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1,}$ nos dará la intersección de la proyección sobre esta circunferencia y por tanto los puntos de esta paramétricamente:

finalmente sustituyendo sobre el haz y arreglando las fracciones queda ${displaystyle left({frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},,{frac {2cdot t}{1+t^{2}}} ight)}$

donde ${displaystyle {ar {mathbb {R} }}}$ incluye el punto en el infinito.^[13]​

En el plano complejo, una circunferencia con centro ${displaystyle C=a+i,b}$ y radio ${displaystyle r}$ a partir de la ecuación de la circunferencia ${displaystyle |z-c|=r}$ se obtiene la forma paramétrica:^[14]​^[15]​

donde ${displaystyle heta in [0,,2,pi ).}$

Como en la función paramétrica, la circunferencia puede representarse en cualquier subespacio de dimensión dos de un espacio vectorial usando dos vectores ortonormales ${displaystyle {vec {u}}}$ y ${displaystyle {vec {v}}}$, y por tanto generadores de dicho subespacio, permitiendo construir la circunferencia en cualquier plano oblicuo con centro ${displaystyle {vec {c}}}$ y radio ${displaystyle r}$ que viene dada o descrita por la función vectorial:

Toda curva plana dada en coordenadas polares es de la forma ${displaystyle alpha ( heta )=}$ ${displaystyle ( ho ( heta )cos heta ,, ho ( heta )operatorname {sen} heta )}$ donde ${displaystyle ho ( heta )}$ es la distancia al centro o polo ${displaystyle O}$ y ${displaystyle heta }$ el ángulo respecto el eje OX, por tanto la expresión de una circunferencia con centro en el polo y radio ${displaystyle r}$ es:

Es decir:

De donde se deduce que ${displaystyle ho ( heta )=r}$

Cuando el centro está en el punto ${displaystyle (d,0)}$ con radio ${displaystyle r}$ la circunferencia es:

Se hace el cambio ${displaystyle x= ho ( heta )cos heta }$ y ${displaystyle y= ho ( heta )operatorname {sen} heta }$ y se simplifica como:

Finalmente se toma la raíz positiva para que ${displaystyle ho ( heta )>0.}$ El polo no puede ser exterior a la circunferencia porque el dominio del parámetro no queda definido continuamente en la parametrización.

Según el área que se trabaje, hay formas de identificar y usar una circunferencia implícitamente, además de sus funciones y ecuaciones.

En topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada simple que sea homeomorfa a la circunferencia usual de la geometría (es decir, la esfera 1–dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado al identificar como uno los dos extremos de un intervalo cerrado. Sin embargo, los geómetras llaman 2-esfera a la circunferencia, mientras que los topólogos se refieren a ella como 1-esfera y la indican como ${displaystyle S^{1},!}$, dando lugar a posibles confusiones.^[16]​

La dimensión de la circunferencia es 1. De igual modo, la dimensión de una recta no acotada, o de un arco — esto es de un conjunto homeomorfo con un intervalo cerrado — y de una curva cerrada simple, i.e. un conjunto homeomorfo con una circunferencia, es igual a 1.^[17]​ También el caso de una poligonal cerrada.

En el tema de ecuaciones diferenciales, una circunferencia puede determinarse mediante una curva integral de una ecuación diferencial como:

En teoría local de la curva, se considera como circunferencia una curva de curvatura constante sin torsión.

Un par de circunferencias que se desplazan, tangencial e interiormente, una sobre la otra guardando una razón entre sus radios de 1:2. Investigadas, originalmente, por el matemático italiano, Girolamo de Cardano^[18]​

Usada en una alternativa definitoria de la elipse y de la hipérbola. Siendo estas el lugar de los centros de las circunferencias tangentes a la llamada circunferencia directriz.^[18]​

Al tratar de la curvatura de una curva o de una superficie, en el punto de contacto, además de la tangente se toma en cuenta la circunferencia de la curvatura, llamada circunferencia osculatriz^[18]​^[19]​

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