Recubridor universal

En topología, un espacio recubridor o espacio cubriente o revestimiento o recubrimiento es una tripleta ${displaystyle [{ ilde {X}},p,X]}$ donde ${displaystyle { ilde {X}},X}$ son espacios topológicos y ${displaystyle p:{ ilde {X}} o X}$ es una función continua y sobreyectiva

Además se cumple que ${displaystyle forall xin Xquad exists U}$ abierto en ${displaystyle X}$ vecindad de ${displaystyle x}$ tal que

donde los ${displaystyle { ilde {U}}_{j}}$ son disjuntos y para cada ${displaystyle { ilde {U}}_{j}}$ la aplicación ${displaystyle p|_{{ ilde {U}}_{j}}:{ ilde {U}}_{j} o U}$ es un homeomorfismo.

El concepto de espacio cubriente se utiliza en ciencias tales como la geometría diferencial, los grupos de Lie, superficies de Riemann, homotopía, teoría de nudos.

El ejemplo prototipo es ${displaystyle mathbb {R} o S^{1}}$ dado por ${displaystyle tmapsto e^{it}}$.

Entre todos los espacios recubridores de un espacio ${displaystyle X,}$ se llama recubridor universal al espacio recubridor simplemente conexo. Puede probarse que el espacio recubridor universal es único salvo homeomorfismos. En otras palabras un espacio cubriente se llama universal si es simplemente conexo, i.e. su primer grupo de homotopía es trivial.

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