Función vectorial

En matemática y física, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de la forma ${displaystyle varphi :mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{m}}$.

Los campos vectoriales se utilizan en física, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo.

Un campo vectorial sobre un subconjunto del espacio euclidiano ${displaystyle Xsubseteq mathbb {R} ^{n}}$ es una función con valores vectoriales:

${displaystyle mathbf {F} :X ightarrow mathbb {R} ^{m},}$

Se dice que ${displaystyle mathbf {F} }$ es un campo vectorial C^k si como función es k veces diferenciable con continuidad en X. Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio X con un vector n- dimensional unido a cada punto en X.

Dados dos campos vectoriales ${displaystyle C^{k}}$, ${displaystyle F}$ y ${displaystyle G}$, definidos sobre X y una función C^k a valores reales f definida sobre X, se definen las operaciones producto por escalar y adición:

${displaystyle (fmathbf {F} )(mathbf {x} )=f(mathbf {x} )mathbf {F} (mathbf {x} )}$

Debido a la linealidad de la función (F+G):

${displaystyle mathbf {(F+G)} (mathbf {x} )=mathbf {F} (mathbf {x} )+mathbf {G} (mathbf {x} )}$

define el módulo de los campos vectoriales C^k sobre el anillo de las funciones C^k. Alternativamente el conjunto de todos los campos vectoriales sobre un determinado subconjunto X es en sí mismo un espacio vectorial.

Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un número o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad).

Las derivadas de un campo vectorial, que dan por resultado un campo escalar u otro campo vectorial, se llaman divergencia y rotor respectivamente. Recíprocamente:

Estas propiedades derivan del teorema de Poincaré.

Un punto ${displaystyle xin X}$ es estacionario si:

${displaystyle mathbf {F} (mathbf {x} )=mathbf {0} }$

El conjunto de todos los espacios vectoriales definidos sobre un subconjunto X, que son estacionarios en un determinado punto forman un subespacio vectorial del conjunto del espacio vectorial definido en la sección anterior.

Los campos vectoriales se pueden construir a partir de campos escalares usando el operador diferencial vectorial gradiente que da lugar a la definición siguiente.

Un campo vectorial C^k F sobre X se llama un campo gradiente o campo conservativo si existe una función C^k+1 a valores reales f: X → R (un campo escalar) de modo que

La integral curvilínea sobre cualquier curva cerrada (e.g. ${displaystyle gamma (a)=gamma (b)}$) en un campo gradiente es siempre cero.

Un campo vectorial C^∞ sobre ${displaystyle R^{n}setminus lbrace 0 brace }$ se llama campo central si puede encontrarse un punto ${displaystyle mathbf {x} _{S}}$ tal que:

${displaystyle mathbf {F} (mathbf {O} (mathbf {x} -mathbf {x} _{S}))=mathbf {O} (mathbf {F} (mathbf {x} -mathbf {x} _{S}))qquad (mathbf {O} in O(n,mathbf {R} ){mbox{ , }}mathbf {x} in R^{n}setminus lbrace 0 brace )}$

Donde ${displaystyle O(n,R)}$ es el grupo ortogonal. Se dice que los campos centrales son invariantes bajo transformaciones ortogonales alrededor de un punto S cuyo vector posición es ${displaystyle mathbf {x} _{S}}$. El punto S se llama el centro del campo.

Un campo central es siempre un campo gradiente, por los campos centrales pueden ser caracterizados más fácilmente mediante:

${displaystyle mathbf {F} (mathbf {x} )=-left({frac {partial U}{partial x}}mathbf {hat {i}} +{frac {partial U}{partial y}}mathbf {hat {j}} +{frac {partial U}{partial z}}mathbf {hat {k}} ight)}$

Donde ${displaystyle U=f(|mathbf {x} -mathbf {x} _{S}|)}$ es una función potencial que depende sólo de la distancia entre el punto donde se mide el campo y el "centro del campo".

Otros campos vectoriales se pueden construir a partir de un campo vectorial usando el operador diferencial vectorial rotacional que da lugar a la definición siguiente.

Un campo vectorial C^k F sobre X se llama un campo solenoidal si existe una función vectorial C^k+1 A: X → Rⁿ (un campo vectorial) de modo que:

${displaystyle mathbf {F} (mathbf {x} )= abla imes mathbf {A} (mathbf {x} )qquad (mathbf {x} in X)}$

La integral de superficie o flujo cualquier superficie cerrada de un campo solenoidal es siempre cero.

${displaystyle oint _{partial V}langle mathbf {F} (mathbf {x} ),dmathbf {S} angle =int _{V} abla cdot ( abla imes mathbf {A} ) dV=int _{V}0 dV=0}$

Una técnica común en la física es integrar un campo vectorial a lo largo de una curva. Dado una partícula en un campo vectorial gravitacional, donde cada vector representa la fuerza que actúa en la partícula en ese punto del espacio, la integral curvilínea es el trabajo hecho sobre la partícula cuando viaja a lo largo de cierta trayectoria.

La integral curvilínea se construye análogamente a la integral de Riemann y existe si la curva es rectificable (tiene longitud finita) y el campo vectorial es continuo.

Dado un campo vectorial ${displaystyle F(x)}$ y una curva ${displaystyle gamma (t)}$ de a a b se define la integral curvilínea como

Algunas reglas simples para el cálculo de los integrales curvilíneas son

Los campos vectoriales tienen una interpretación agradable en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden autónomas.

Dado un C⁰ campo vectorial F definido sobre X

podemos intentar definir curvas γ(t) sobre X de modo que para cada t en un intervalo I

y

Puesto en nuestra ecuación de campo vectorial conseguimos

lo que es la definición de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden explícita con las curvas γ(t) como soluciones.

Si F es Lipschitz continua se puede encontrar una curva C¹ única γ_x para cada punto x en X de modo que

Las curvas γ_x se llaman las curvas integrales del campo vectorial F y particionan X en clases de equivalencia. No es siempre posible ampliar el intervalo (-µ, +µ) a la recta real total. El flujo puede por ejemplo alcanzar el borde de X en un tiempo finito.

Integrar el campo vectorial a lo largo de cualquier curva integral γ da

En dimensión 2 o tres se puede visualizar el campo vectorial como dando lugar a un flujo en X. Si dejamos caer una partícula en este flujo en el punto x se moverá a lo largo de una curva γ_x en el flujo dependiendo del punto inicial x. Si x es un punto estacionario en F entonces la partícula seguirá estacionaria.

Los usos típicos son aerodinámica en líquidos, flujo geodésico, los subgrupos uniparamétricos y la función exponencial en grupos de Lie.

El teorema de Poincaré sobre 1-formas exactas tiene varias consecuencias interesantes para los campos vectoriales:

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