Divergencia (matemática)

La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa. La divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la materia al exterior de cada punto, y en el caso de ser la divergencia idénticamente igual a cero, describe al flujo incompresible del fluido.^[1]​ Llamado también campo solenoidal.

La divergencia de un campo vectorial ${displaystyle mathbf {F} (mathbf {x} )}$ en el punto ${displaystyle mathbf {x} _{0}}$ se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

donde ${displaystyle S}$ es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo ${displaystyle abla }$ representa el operador nabla.

Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas fuentes y las negativas sumideros del campo eléctrico.

Se llaman fuentes escalares del campo ${displaystyle {vec {F}}}$ al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de ${displaystyle {vec {F}}}$

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.

En ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, la divergencia de un campo vectorial continuamente diferenciable dado por

está definido como la función escalar

Sin embargo, para un caso más general de coordenadas ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es:

Donde los ${displaystyle h_{i},}$ son los factores de escala del sistema de coordenadas, relacionados con la forma del tensor métrico en dicho sistema de coordenadas. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas (${displaystyle h_{x}=h_{y}=h_{z}=1}$) se reduce a la expresión anterior.

Para coordenadas cilíndricas (${displaystyle h_{ ho }=h_{z}=1, h_{varphi }= ho }$) resulta:

Para coordenadas esféricas (${displaystyle h_{r}=1, h_{ heta }=r, h_{varphi }=r{operatorname {sen} } heta }$) resulta

En sistemas de coordenadas generales, no necesariamente ortogonales, la divergencia de un vector puede expresarse en términos de las derivadas parciales respecto a las coordenadas y el determinante del tensor métrico:

Sean ${displaystyle mathbf {F} }$ y ${displaystyle mathbf {G} }$ dos campos vectoriales y ${displaystyle alpha ,eta in mathbb {R} }$ entonces

Si ${displaystyle mathbf {F} }$ y ${displaystyle mathbf {G} }$ son dos campos vectoriales en ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ entonces

La divergencia de un campo vectorial puede ser definido en cualquier dimensión, si ${displaystyle mathbf {F} }$ es un campo vectorial en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ dado por

entonces

Para cualquier ${displaystyle nin mathbb {N} }$, la divergencia es un operador lineal y satisface

para cualquier función escalar ${displaystyle varphi }$.

El concepto de divergencia puede extenderse a un campo tensorial de orden superior. En una variedad de Riemann la divergencia de un tensor T completamente simétrico

Se define como:

Por ejemplo, en teoría de la relatividad especial la energía de un sistema se representa por un tensor simétrico de segundo orden, cuya divergencia es cero. De hecho el principio de conservación de la energía relativista toma la forma:

El teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de la divergencia de dicho campo en el interior del volumen encerrado por una superficie. Ese resultado lo hace interesante tanto en aplicaciones relacionadas con la electrostática como en la mecánica de fluidos.

Sea ${displaystyle Usubset mathbb {R} ^{3}}$ una región sólida acotada por una superficie cerrada ${displaystyle S}$ orientada por un vector normal unitario que apunta hacia el exterior de ${displaystyle U}$, si ${displaystyle mathbf {F} }$ es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en ${displaystyle U}$ entonces

donde ${displaystyle S=partial U}$.

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