Función de Green

En matemáticas, una función de Green es una función matemática usada como núcleo de un operador lineal integral y usada en la resolución de ecuaciones diferenciales no homogéneas con condiciones de contorno especificadas. La función de Green recibe ese nombre por el matemático británico George Green, que desarrolló el concepto hacia 1830.

El término también aparece en física, particularmente en teoría cuántica de campos, para referirse a varios tipos de funciones de correlación y operadores integrales para ciertas magnitudes calculables a partir del operador de campo.

El término función de Green se usa para designar a un operador lineal K que tiene forma de integral, siendo el núcleo de este operador integral la función de Green propiamente dicha. Para explicar qué es la función de Green consideremos un operador diferencial lineal L que actúa sobre cierto espacio de funciones definidas sobre una variedad diferenciable M, y pongamos que pretendemos resolver la ecuación diferencial:

(1)${displaystyle L[u(x)]=f(x)qquad xin Omega subset M}$

La idea del método basado en la función de Green es encontrar una función de dos variables G(x, s) continua y diferenciable en el sentido de la teoría de distribuciones que cumpla:

(2)${displaystyle L[G(x,s)]=delta (x-s),}$

Donde ${displaystyle delta ();}$ es la distribución delta de Dirac. Si se puede hallar una función G que cumpla la ecuación (2) entonces la solución de la ecuación (1) sea cual sea la función f puede escribirse en la forma:

(3)${displaystyle u(x)=K[f(x)]:=int G(x,s)f(s)quad ds}$

Puede verse informalmente que la solución así calculada es solución de la ecuación (1) ya que:

${displaystyle L[u(x)]=int L[G(x,s)]f(s)ds=int delta (x-s)f(s)ds=f(x)}$

Por tanto, tenemos la siguiente relación entre el operador integral dado por la función de Green y el operador diferencial asociado a la ecuación diferencial:

${displaystyle Lcirc K=Kcirc L=Idqquad Rightarrow qquad L^{-1}=K}$

Conviene añadir algunas precisiones al planteamiento informal que hemos presentado:

Las funciones de Green son muy útiles en teoría de la materia condensada donde permiten resolver la ecuación de difusión y también en mecánica cuántica donde la función de Green del hamiltoniano es un concepto clave, para el desarrollo de la teoría cuántica de campos.

Para definir la función de Green que hace de núcleo integral del operador que resuelve cierta ecuación diferencial inhomogénea es necesario introducir algunos conceptos. Empezando con un operador diferencial de Sturm-Liouville ${displaystyle scriptstyle L}$ de la forma:

${displaystyle L={d over dx}{d over dx}left[p(x) ight]+q(x)}$

Y expresando mediante operador D las condiciones de frontera de Dirichlet:

${displaystyle Du=left{{egin{matrix}alpha _{1}u'(0)+eta _{1}u(0)\alpha _{2}u'(l)+eta _{2}u(l).end{matrix}} ight.}$

Sea ${displaystyle scriptstyle f(x)}$ una función continua en ${displaystyle [0,l]}$, con la cual planteamos el siguiente problema:

${displaystyle {egin{matrix}Lu=f\Du=0end{matrix}}}$

Este es un problema regular, lo cual significa, que para la ecuación homogénea la única solución existente es la solución trivial.

Dicha solución viene además dada por la siguiente expresión:

En la cual G (x, s) es la función de Green que satisface las siguientes condiciones:

Dado el problema

${displaystyle {egin{cases}{cfrac {d}{dx}}left[{cfrac {d}{dx}}u(x) ight]+u(x)=f(x)\u(0)=0,quad quad uleft({frac {pi }{2}} ight)=0end{cases}}}$

Donde la última línea representa las condiciones de contorno o frontera. Para encontrar la función de Green del problema anterior se siguen los siguientes pasos:

${displaystyle g''+g=delta (x-s).,}$

${displaystyle g(x,s)=Acos x+Bsin x.,}$

${displaystyle g(0,s)=c_{1}cos 0+c_{2}sin 0=c_{1}cdot 1+c_{2}cdot 0=0,quad c_{1}=0.}$

${displaystyle gleft({frac {pi }{2}},s ight)=c_{3}cdot 0+c_{4}cdot 1=0,quad c_{4}=0.}$

${displaystyle g(x,s)=left{{egin{matrix}c_{2}sin x,;;x<s\c_{3}cos x,;;s<xend{matrix}} ight.}$

${displaystyle c_{2}sin s=c_{3}cos s.,}$

${displaystyle c_{3}cdot [-sin s]-c_{2}cdot cos s=1,}$

${displaystyle c_{2}=-cos squad ;quad c_{3}=-sin s}$

${displaystyle g(x,s)={egin{cases}-cos(s)sin(x)&x<s,\-sin(s)cos(x)&s<xend{cases}}}$

${displaystyle u(x)=int _{0}^{pi /2}f(s)g(x,s) ds=-int _{0}^{x}f(s)sin scos x ds-int _{x}^{pi /2}f(s)cos ssin x ds}$

Dicha solución existe para cualquier función ${displaystyle scriptstyle fin L^{1}([0,pi /2])}$ integrable en el intervalo ${displaystyle scriptstyle [0,pi /2]}$.

En el caso de un oscilador armónico tenemos la siguiente ecuación diferencial

${displaystyle mx''(t)+bx'(t)+kx(t)=F(t),}$

Siendo ${displaystyle scriptstyle F(t)}$ la fuerza que provoca la oscilación. Supondremos que la fuerza comienza actuar en t=0 de modo que:

${displaystyle F(t)={egin{cases}0&t<0\f(t)&tgeq 0end{cases}}}$

Asumiendo como condiciones iniciales x(0)=x'(0)=0 la solución de la ecuación de movimiento es:

(*)${displaystyle x(t)=int _{-infty }^{infty }G(t,s)F(s)ds}$

con

Eliminando la parte nula de la función de Green resulta:

${displaystyle x(t)=int _{0}^{t}{frac {1}{momega _{1}}}e^{-eta (t-s)}sin(omega _{1}(t-s))f(s)dsqquad qquad forall tgeq 0}$

La integral (*) se conoce como integral de Duhamel.

Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes de orden n-ésimo se caracteriza por ser de la forma:

${displaystyle sum _{k=0}^{n}a_{k}{frac {d^{k}x(t)}{dt^{k}}}=F(t)}$

Supondremos que F(t) es de la forma:

${displaystyle F(t)={egin{cases}0&t<0\f(t)&tgeq 0end{cases}}}$

La solución que cumple las condiciones de contorno:

viene dada por:

${displaystyle x(t)=int _{-infty }^{infty }G(t,s)F(s)ds}$

con

siendo ${displaystyle x_{h}}$ la solución particular de la ecuación homogénea que verifica:

${displaystyle {egin{cases}sum _{k=0}^{n}a_{k}{cfrac {d^{k}x_{h}(t)}{dt^{k}}}=0\{cfrac {d^{n-1}x_{h}(t)}{dt^{n-1}}}|_{t=0}={cfrac {d^{n-2}x_{h}(t)}{dt^{n-2}}}|_{t=0}=dots ={cfrac {dx_{h}(t)}{dt}}|_{t=0}=0\x_{h}(0)=-{cfrac {1}{a_{0}}}end{cases}}}$

La solución de la ecuación inhomogénea viene dada por tanto:

${displaystyle x(t)=int _{0}^{t}{frac {dx_{h}(u)}{du}}{igg |}_{t-s}f(s)ds,qquad forall tgeq 0}$

El uso principal del formalismo de la función de Green en matemáticas y física es la resolución de ecuaciones diferenciales no homogéneas con condiciones de contorno dadas. En física las funciones de Green además son usadas como propagadores en el cálculo de diagramas de Feynman.

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