Carta (matemática)

Carta se incluye en terminología matemática en el sentido cartográfico, el objetivo es el de unir una serie de cartas o “mapas” para que nos permitan definir completamente una atlas o “colección de mapas” de la totalidad de un espacio topológico al que queremos estudiar.

Para una ampliación contextual de la definición vea variedades diferenciables.

Dado ${displaystyle M_{}^{}}$ un espacio topológico, llamaremos carta de dimensión ${displaystyle m_{}^{}}$ en ${displaystyle M_{}^{}}$ a un par ${displaystyle (U,Phi _{}^{})}$ tal que la aplicación ${displaystyle Phi :U={stackrel {circ }{U}}subset M ightarrow mathbb {R} ^{m}}$ cumpla que ${displaystyle Phi _{}^{}(U)}$ sea un abierto y ${displaystyle Phi _{}^{}}$ sea un homeomorfismo(biyectiva, continua e inversa continua).

Notas

1) Si ${displaystyle M=mathbb {R} ^{n}}$ podemos ver que ${displaystyle (mathbb {R} ^{n},;id:mathbb {R} ^{n} ightarrow mathbb {R} ^{n})}$ es carta ${displaystyle forall nin mathbb {N} :n>0}$.

2) Si ${displaystyle M=mathbb {R} }$ pordemos ver que ${displaystyle ((a,b),;i:(a,b)hookrightarrow mathbb {R} )}$ es carta ${displaystyle forall a,bin mathbb {R} :a<b}$.

3) Si ${displaystyle M=mathbb {R} }$ podemos ver que ${displaystyle (mathbb {R} ,;xmapsto x^{3})}$ es carta, también lo es ${displaystyle x^{2n+1}forall n>1}$.

Demostración:

4) Si ${displaystyle M=S^{1}subset mathbb {R^{2}} cong mathbb {C} }$ podemos ver que ${displaystyle (S^{1} {i},;phi )}$ es carta para:

5) Si ${displaystyle M=S^{1}subset mathbb {R^{2}} cong mathbb {C} }$ podemos ver que ${displaystyle (S^{1} {i},;psi )}$ es carta para:

6) Si ${displaystyle M=S^{n}subset mathbb {R} ^{n+1}}$ podemos ver que ${displaystyle (S^{n} {(0,;dots ,;0,;1)},;phi )}$ es carta para:

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