Velocidad relativa

La velocidad relativa entre dos cuerpos es el valor de la velocidad de uno de ellos tal como la mediría un observador situado en el otro. La velocidad relativa de un cuerpo B respecto de un cuerpo A se desnota ${displaystyle mathbf {v} _{ ext{BA}};}$.

Dados dos observadores, A y B, cuyas velocidades medidas por un tercer observador son ${displaystyle mathbf {v} _{ ext{A}},}$ y ${displaystyle mathbf {v} _{ ext{B}},}$, respectivamente, la velocidad relativa de B con respecto a A se denota como ${displaystyle mathbf {v} _{ ext{BA}};}$ y viene dada por:

${displaystyle mathbf {v} _{ ext{BA}}=mathbf {v} _{ ext{B}}-mathbf {v} _{ ext{A}}}$

Naturalmente, la velocidad relativa de A con respecto a B se denota como ${displaystyle mathbf {v} _{ ext{AB}};}$ y viene dada por:

${displaystyle mathbf {v} _{ ext{AB}}=mathbf {v} _{ ext{A}}-mathbf {v} _{ ext{B}}}$

de modo que las velocidades relativas ${displaystyle mathbf {v} _{ ext{BA}};}$ y ${displaystyle mathbf {v} _{ ext{AB}};}$ tienen el mismo módulo pero sentidos opuestos.

El cálculo de velocidades relativas en mecánica clásica es totalmente aditivo y encaja con la intuición común sobre velocidades; de esta propiedad de la aditividad surge el método de la velocidad relativa.

Consideremos dos partículas A y B que se mueven en el espacio y sean ${displaystyle {{mathbf {r} }_{ ext{A}}}}$ y ${displaystyle {{mathbf {r} }_{ ext{B}}}}$ sus vectores de posición con respecto al origen O de un referencial dado. Las velocidades de A y B medidas en ese referencial son

${displaystyle {{mathbf {v} }_{ ext{A}}}={frac {d{{mathbf {r} }_{ ext{A}}}}{dt}}quad quad quad quad {{mathbf {v} }_{ ext{B}}}={frac {d{{mathbf {r} }_{ ext{B}}}}{dt}}}$

Los vectores de posición de la partícula B con respecto a la A y de la A con respecto a la B están definidos por

${displaystyle {{mathbf {r} }_{ ext{BA}}}={overrightarrow { ext{AB}}}={{mathbf {r} }_{ ext{B}}}-{{mathbf {r} }_{ ext{A}}}quad quad quad quad {{mathbf {r} }_{ ext{AB}}}={overrightarrow { ext{BA}}}={{mathbf {r} }_{ ext{A}}}-{{mathbf {r} }_{ ext{B}}}}$

y las velocidades de B con respecto a A y de A con respecto a B son

${displaystyle {{mathbf {v} }_{ ext{BA}}}={frac {d{{mathbf {r} }_{ ext{BA}}}}{dt}}quad quad quad quad {{mathbf {v} }_{ ext{AB}}}={frac {d{{mathbf {r} }_{ ext{AB}}}}{dt}}}$

de modo que al ser ${displaystyle {{mathbf {r} }_{ ext{BA}}}=-{{mathbf {r} }_{ ext{AB}}}}$ también resulta que ${displaystyle {{mathbf {v} }_{ ext{BA}}}=-{{mathbf {v} }_{ ext{AB}}}}$. Esto es, las velocidades relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B son iguales y opuestas. Efectuando las derivadas indicadas en resulta

${displaystyle {{mathbf {v} }_{ ext{BA}}}={frac {d{{mathbf {r} }_{ ext{BA}}}}{dt}}={frac {d{{mathbf {r} }_{ ext{B}}}}{dt}}-{frac {d{{mathbf {r} }_{ ext{A}}}}{dt}}={{mathbf {v} }_{ ext{B}}}-{{mathbf {v} }_{ ext{A}}}}$

${displaystyle {{mathbf {v} }_{ ext{AB}}}={frac {d{{mathbf {r} }_{ ext{AB}}}}{dt}}={frac {d{{mathbf {r} }_{ ext{A}}}}{dt}}-{frac {d{{mathbf {r} }_{ ext{B}}}}{dt}}={{mathbf {v} }_{ ext{A}}}-{{mathbf {v} }_{ ext{B}}}}$

de modo que obtendremos la velocidad relativa entre las dos partículas restando vectorialmente sus velocidades con respecto a un mismo referencial (ref. Oxyz en la figura).

El concepto de velocidad relativa es particularmente útil en la cinemática del sólido rígido. Si se acepta que las distancias entre los diversos puntos de un sólido rígido no varían duranto, entonces, conocida la velocidad angular ${displaystyle {oldsymbol {omega }},}$ del sólido en cada instante y la velocidad de un punto P del mismo, podemos conocer la velocidad de cualquier otro punto P' mediante la relación:

(2)${displaystyle {{mathbf {v} }_{ ext{P'}}}={{mathbf {v} }_{ ext{P}}}+{{mathbf {v} }_{ ext{P'P}}}={{mathbf {v} }_{ ext{P}}}+mathbf {omega } imes {overrightarrow { ext{PP'}}}}$

donde:

En mecánica relativista la velocidad relativa no es aditiva, eso significa que si se tienen tres observadores A y B, moviéndose sobre una misma recta a velocidades diferentes ${displaystyle v_{A},v_{B}}$, según un tercer observador O, sucede que:

(3)${displaystyle v_{ ext{B}} eq v_{ ext{BA}}+v_{ ext{A}}qquad v_{ ext{A}} eq v_{ ext{AB}}+v_{ ext{B}}}$

Para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz, las desigualdades se cumplen de modo aproximado, pero para valores comparables a los de la luz la velocidad relativa es significativamente menor que el valor predicho por la mecánica clásica. Esto sucede porque al moverse con diferentes velocidades los dos observadores perciben el transcurso del tiempo y las distancias de modo diferente. De hecho la velocidad relativa máxima jamás excede a la velocidad de la luz, mientras que según los postulados de la mecánica clásica no existe un límite superior para la velocidad relativa de un observador respecto a otro.

El cálculo relativista exacto revela que el efecto de dilatación del tiempo diferentes para dos observadores que se mueven uno con respecto a otro lleva a unas velocidades relativas medidas por cada uno de ellos dadas por:^[1]​

(4)${displaystyle v_{ ext{BA}}={cfrac {v_{ ext{B}}-v_{ ext{A}}}{1-{cfrac {v_{ ext{A}}v_{ ext{B}}}{c^{2}}}}}=-v_{ ext{AB}}}$

A partir de esta expresión (4) puede probarse que:

${displaystyle |v_{ ext{AB}}|=|v_{ ext{BA}}|approx 0,99995c<c;}$

${displaystyle |v_{ ext{AB}}|=|v_{ ext{BA}}|=1,98000c>c;}$

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