Teorema de Sard

El teorema de Sard, también conocido como lema de Sard o el teorema de Morse-Sard, es un resultado de Análisis matemático que afirma que la imagen de la serie de puntos críticos de una función continuamente diferenciable f de un espacio euclidiano o colector a otro tiene medida de Lebesgue 0 - forman un conjunto nulo . Esto hace que sea "pequeño" en el sentido de una propiedad genérica.

Más explícitamente (Sternberg (1964, Theorem II.3.1); Sard (1942)),

sea ${displaystyle C^{k}}$, (i.e., ${displaystyle k}$ veces continuamente diferenciable), donde ${displaystyle kgeq max{n-m+1,1}}$. Sea ${displaystyle X}$ el conjunto de puntos críticos de ${displaystyle f,}$ el cual es el conjunto de puntos ${displaystyle xin mathbb {R} ^{n}}$ en los cuales la Matriz Jacobiana de ${displaystyle f}$ tiene rango ${displaystyle <m}$. Entonces la imagen ${displaystyle f(X)}$ tiene medida de Lebesgue 0 en ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$.

Intuitivamente hablando, esto significa que aunque ${displaystyle X}$ pueda ser grande, su imagen debe ser pequeña en el sentido de la Medida de Lebesgue: mientras ${displaystyle f}$ puede tener muchos puntos críticos en el dominio ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, éste debe tener pocos valores críticos en la imagen ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$.

De manera más general, el resultado también es válido para las asignaciones entre los segundos colectores contables M diferenciables ${displaystyle M}$ y ${displaystyle N}$ de dimensiones ${displaystyle m}$ y ${displaystyle n}$, respectivamente. El conjunto crítico ${displaystyle X}$ de una función ${displaystyle C^{k}}$

consiste en aquellos puntos en los que el diferencial

Tiene rango menor que ${displaystyle m}$ como una transformación lineal. Si ${displaystyle kgeq max{n-m+1,1}}$, entonces el teorema de Sard afirma que la imagen de ${displaystyle X}$ tiene medida cero como un subconjunto de ${displaystyle M}$. Esta formulación del resultado se deduce de la versión para espacios euclídeos mediante la adopción de un conjunto numerable de coordinar los parches . La conclusión del teorema es una declaración local, ya que una unión numerable de conjuntos de medida cero es un conjunto de medida cero, y la propiedad de un subconjunto de un parche de coordenadas que tiene medida cero es invariante bajo difeomorfismo.

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