Teorema de Pickands-Balkema-De Haan

El teorema de Pickands-Balkema-de Haan, frecuentemente denominado segundo teorema de la teoría de valores extremos, proporciona la distribución asintótica para las colas de una variable aleatoria X, cuando la verdadera distribución F_X de X no e conoce. A diferencia del primer teorema de la teoría de valores extremos (el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko), el interés reside aquí en los valores por encima de un umbral fijado.

Si se considera una distribución desconocida ${displaystyle F}$ de una variable aleatoria ${displaystyle X}$, puede plantearse el problema de estimar la función de distribución condicional ${displaystyle F_{u}}$ de que la variable ${displaystyle X}$ cuando se conoce que su valor está por encima de un cierto umbral ${displaystyle u}$. Esta función se denomina función de distribución condicional del exceso, definida por:

${displaystyle F_{u}(y)=mathbb {P} (X-uleq y|X>u)={frac {F(u+y)-F(u)}{1-F(u)}},}$

para ${displaystyle 0leq yleq x_{F}-u}$, donde ${displaystyle x_{F}}$ el valor para el cual ${displaystyle inf{x_{F}|F(x_{F})=1}}$. La función ${displaystyle F_{u}}$ describe la distribución del valor en exceso por encima del umbral ${displaystyle u}$, dado que el umbral es sobrepasado.

Sea ${displaystyle (X_{1},X_{2},ldots )}$ una sucesión de variables aleatorias i.i.d., y sea ${displaystyle F_{u}}$ su función de distribución condicional del exceso. Pickands (1975), Balkema y de Haan (1974) mostraron que para una amplia clase de distribuciones de partida ${displaystyle F}$, y valores grades de ${displaystyle u}$, ${displaystyle F_{u}}$ puede ser aproximada adecuandamente mediante la distribución generalizada de Pareto. Es decir:

${displaystyle F_{u}(y) ightarrow G_{k,sigma }(y),{ ext{ as }}u ightarrow infty }$

donde

Aquí σ > 0 y y ≥ 0 cuando k ≥ 0 y 0 ≤ y ≤ −σ/k cuando k < 0. Puesto que un caso especial de distribución generalizada de Pareto es una ley potencial, el teorema de Pickands-Balkema-de Haan a veces se usa para justificar el uso de leyes potenciales para modelizar situaciones extremas. Sin embargo, muchas distribuciones importantes, como la distribución normal o la lognormal, no tienen colas pesadas que presenten valores extremos al modo de las leyes potenciales.

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