Teorema de Ehrenfest

¿Qué día cumple años Teorema de Ehrenfest?

Teorema de Ehrenfest cumple los años el 3 de enero.

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¿Qué día nació Teorema de Ehrenfest?

Teorema de Ehrenfest nació el día 3 de enero de 3.

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¿Cuántos años tiene Teorema de Ehrenfest?

La edad actual es 2021 años. Teorema de Ehrenfest cumplió 2021 años el 3 de enero de este año.

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¿De qué signo es Teorema de Ehrenfest?

Teorema de Ehrenfest es del signo de Capricornio.

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El teorema de Ehrenfest es un teorema empleado en mecánica cuántica que relaciona la derivada temporal del valor esperado de un operador hermítico con el valor esperado del conmutador de tal operador con el hamiltoniano.

El teorema fue enunciado en 1927 por el físico austriaco Paul Ehrenfest (1880–1933).

Sea A un operador lineal, H el operador hamiltoniano del sistema y ${displaystyle Psi }$ una función de onda, se tiene entonces que:

${displaystyle {frac {d}{dt}}langle A angle =-{frac {i}{hbar }}langle [A,H] angle }$

siendo ${displaystyle langle A angle =langle Psi |A|Psi angle qquad langle [A,H] angle =langle Psi |[A,H]Psi angle qquad [A,H]=AH-HA}$

En caso de que A dependa del tiempo la expresión queda:

${displaystyle {frac {d}{dt}}langle A angle =-{frac {i}{hbar }}langle [A,H] angle +langle {frac {partial A}{partial t}} angle }$.

A veces A no depende explícitamente del tiempo. En este caso el último término resulta nulo.

Sea A un operador lineal, la derivada temporal de su valor esperado será:

${displaystyle {frac {d}{dt}}langle Psi |APsi angle ={frac {d}{dt}}int _{mathbb {R} ^{3}}Psi ^{*}APsi d^{3}mathbf {r} =int _{mathbb {R} ^{3}}{frac {partial Psi ^{*}}{partial t}}APsi d^{3}mathbf {r} +int _{mathbb {R} ^{3}}Psi ^{*}A{frac {partial Psi }{partial t}}d^{3}mathbf {r} +int _{mathbb {R} ^{3}}Psi ^{*}{frac {partial A}{partial t}}Psi d^{3}mathbf {r} =langle {frac {partial Psi }{partial t}}|APsi angle +langle Psi |A{frac {partial Psi }{partial t}} angle +langle Psi |{frac {partial A}{partial t}}Psi angle }$

Dado que la función de ondas cumple la ecuación de Schrödinger se tiene que:

${displaystyle ihbar {frac {partial Psi }{partial t}}=HPsi }$

Sustituyendo la derivada temporal por la acción del operador hamiltoniano y empleando la hermiticidad de este último tenemos que:

${displaystyle {frac {d}{dt}}langle Psi |APsi angle -langle Psi |{frac {partial A}{partial t}}Psi angle =langle {frac {partial Psi }{partial t}}|APsi angle +langle Psi |A{frac {partial Psi }{partial t}} angle ={frac {i}{hbar }}langle HPsi |APsi angle -{frac {i}{hbar }}langle Psi |AHPsi angle =-{frac {i}{hbar }}langle Psi |[A,H]Psi angle }$

O expresado en forma más compacta:

${displaystyle {frac {d}{dt}}langle A angle =-{frac {i}{hbar }}langle [A,H] angle +langle {frac {partial A}{partial t}} angle }$

Tomando A=x y teniendo en cuenta que:

${displaystyle [x,H]=[x,{frac {p^{2}}{2m}}+V]=[x,{frac {p^{2}}{2m}}]={frac {iphbar }{m}}}$

Se tiene que:

${displaystyle {frac {dlangle x angle }{dt}}={frac {langle p angle }{m}}}$

Tomando A=p y teniendo en cuenta que:

${displaystyle [p,H]=[p,{frac {p^{2}}{2m}}+V]=[p,V]=-ihbar abla V}$

se tiene que:

${displaystyle {frac {dlangle p angle }{dt}}=-langle abla V angle =langle F angle }$

Si el operador hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo puede tomarse A=H y se tiene que:

${displaystyle {frac {dlangle H angle }{dt}}=-{frac {i}{hbar }}langle [H,H] angle =0}$

Identificando el hamiltoniano con la energía del sistema se tiene:

${displaystyle langle H angle =E=mathrm {cte} }$

Es decir, cuando el hamiltoniano del sistema no depende explícitamente del tiempo, el valor esperado del hamiltoniano se conserva.

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