Tabla semántica

El método de las tablas semánticas, presentado por E. Beth y popularizado como árboles semánticos por R. Smullyan, consiste básicamente en examinar, de manera sistemática, todas las posibilidades que podrían hacer falsa una proposición dada y buscar si una de estas posibilidades es lógicamente viable.

Un árbol semántico es una sucesión de sucesiones de fórmulas llamadas ramas, generadas a partir de un conjunto (no vacío) de fórmulas, por aplicación a éstas de las reglas (y a las fórmulas resultantes que sean complejas).

El método de demostración por contradicción o reducción al absurdo (mencionado en el apartado anterior) nos permite utilizar las llamadas tablas semánticas para comprobar si un argumento es o no valido. El método (descubierto en los años cincuenta por Beth y Hintikka, independientemente uno del otro) permite saber si una proposición es una contradicción. Para ello, se construye un árbol donde los nodos (finitos) son las proposiciones, el conectivo ∧ se representa por una arista vertical;

y el conectivo V por un par de aristas en la forma;

El resto de los conectivos se traducen a esa forma. Así, el condicional p → q se representa como;

ya que p → q ↔ ¬p V q.

Por otro lado, como:
p ↔ q ↔ (¬p V q) ∧ (¬q V p)
p ↔ q ↔ (¬p ∧ ¬q) V (¬p ∧ p) V (q ∧ ¬q) V (q ∧ p)
p ↔ q ↔ (¬p ∧ ¬q) V (p ∧ q)
la bicondicional se representará;

En este método, se van descomponiendo, por turno, cada proposición compuesta, de acuerdo con las reglas anteriores, marcando dicha proposición como ya utilizada. Conviene descomponer primero los bicondicionales y sus negaciones antes que otras conectivas que creen ramas. Si en una sucesión de nodos del árbol (camino), aparece una proposición y su negación, se dice que es un camino cerrado y se marca con * el nodo final. Si al final del proceso todos los caminos se cierran, la proposición es una contradicción; en caso contrario, cada camino abierto es un modelo de la proposición inicial. Así pues, si queremos demostrar o refutar un argumento del tipo H → C calculamos la tabla semántica de H ∧ ¬ C. Si al finalizar todos los caminos se cierran, tenemos que H ∧ ¬C es una contradicción, es decir, el argumento H → C es válido. Por el contrario, la existencia de una rama abierta nos llevará a concluir que el argumento no es válido. Del mismo modo, si tenemos un sistema de proposiciones {p1, p2, . . . ,pn}, sabremos que es consistente, si al construir la tabla semántica de p1 ^ p2 ^ . . . ^ pn, nos queda algún camino abierto que representara un modelo para dicho sistema.

Modus tollendo tollens