Como sociedad científica, la Sociedad del Cuaternión (nombre original en inglés: Quaternion Society) fue una "Asociación Internacional para la Promoción del Estudio de los Cuaterniones y Sistemas Afines de Matemáticas". En su apogeo, estaba formado por unos 60 matemáticos repartidos por todo el mundo académico, que experimentaban con cuaterniones y otros sistemas de números hipercomplejos. Alexander Macfarlane, quien ocupó el cargo de secretario, se convirtió en presidente en 1909. La Asociación publicó una Bibliografía en 1904 y un Boletín (informe anual) de 1900 a 1913.
El Boletín se convirtió en una revista de revisión de temas de análisis de vectores y álgebra abstracta, como la teoría de la equipolencia. El trabajo matemático revisado se refería en gran medida a matrices y álgebra lineal, ya que los métodos de estas disciplinas se estaban desarrollando rápidamente en aquella época.
En 1895, el profesor P. Molenbroek de La Haya, Holanda, y Shinkichi Kimura, que estudiaban en Yale, realizaron un llamamiento al mundo académico para que se formara la sociedad, publicado en revistas de amplia circulación: Nature, Science, y el Boletín de la Sociedad Matemática Americana. El matemático italiano Giuseppe Peano también anunció la formación de la sociedad en su Rivista di Matematica.
El llamamiento para formar una Asociación fue alentado por Macfarlane en 1896:
En 1897, la Asociación Británica se reunió en Toronto, donde se discutieron los productos vectoriales:
Un sistema de secretarios nacionales se anunció en el Boletín de la Sociedad Matemática Americana en 1899: Alexander McAulay para Australasia, Victor Schlegel para Alemania, Joly para Gran Bretaña e Irlanda, Giuseppe Peano para Italia, Kimura para Japón, Aleksandr Kotelnikov para Rusia, F. Kraft para Suiza, y Arthur Stafford Hathaway para los Estados Unidos. Para Francia, el secretario nacional era Paul Genty, un ingeniero de la división de Ponts et Chaussees, colaborador en el estudio de los cuaterniones de Charles-Ange Laisant, autor de Methode des Quaterniones (1881).
Victor Schlegel informó sobre la nueva institución en Monatshefte für Mathematik.
Cuando se organizó la Sociedad en 1899, Peter Guthrie Tait fue elegido como presidente, pero declinó el ofrecimiento por razones de mala salud.
El primer presidente fue Robert Stawell Ball y Alexander Macfarlane desempeñó el cargo de Secretario y Tesorero. En 1905, Charles Jasper Joly asumió el cargo de Presidente y L. van Elfrinkhof el de Tesorero, mientras que Macfarlane continuó como Secretario. En 1909, Macfarlane se convirtió en presidente, James Byrnie Shaw se convirtió en secretario y van Elfrinkhof continuó como tesorero. El año siguiente, Macfarlane y Shaw continuaron en sus puestos, mientras que Macfarlane también absorbió la oficina del Tesorero. Cuando Macfarlane murió en 1913 después de casi completar el propósito del Boletín, Shaw lo finalizó y terminó la Asociación.
Las reglas establecían que el presidente tenía el poder de veto.
El Boletín de la Asociación que promueve el estudio de cuaterniones y sistemas afines de matemáticas se publicó nueve veces bajo la dirección de Alexander Macfarlane. Todos los números enumeraron los funcionarios de la Asociación, el consejo de gobierno, las reglas, los miembros y una declaración financiera del tesorero. Actualmente, la biblioteca digital HathiTrust proporciona acceso a estas publicaciones que son principalmente de interés histórico:
Publicada en 1904 en Dublín, cuna de los cuaterniones, la "Bibliography of Quaternions and Allied Systems of Mathematics" (Bibliografía de los Cuaterniones y Sistemas Afines de Matemáticas) de 86 páginas citó unas mil referencias. La publicación estableció un estándar profesional; por ejemplo, el Manual de cuaterniones (1905) de Joly no tiene bibliografía más allá de la cita de Macfarlane. Además, en 1967, cuando MJ Crowe publicó A History of Vector Analysis, escribió en el prefacio (página ix) :
Cada año aparecían más artículos y libros que eran de interés para los miembros de la Asociación, por lo que fue necesario actualizar la Bibliografía con suplementos en el Boletín. Las categorías utilizadas para agrupar los elementos en los suplementos dan una idea del enfoque cambiante de la Asociación:
En 1913 murió Macfarlane, y según relata Dirk Struik, la Sociedad "se convirtió en víctima de la Primera Guerra Mundial".
James Byrnie Shaw, el oficial superviviente, escribió 50 reseñas de libros para publicaciones matemáticas estadounidenses. La revisión final de un artículo en el Boletín fue The Wilson and Lewis Algebra of Four-Dimensional Space, escrita por JB Shaw. En el resumen, indicaba:
El artículo revisado fue "La variedad espacio-tiempo de la relatividad, la geometría no euclidiana de la mecánica y la electromagnética". Sin embargo, cuando el libro de texto The Theory of Relativity de Ludwik Silberstein estuvo disponible en 1914 como una explicación en inglés del espacio de Minkowski, se aplicó el álgebra de los bicuaterniones, pero sin referencias al trasfondo británico o a Macfarlane u otros cuaternionistas de la Sociedad. El lenguaje de los cuaterniones se había vuelto internacional, proporcionando el contenido necesario para establecer la teoría de conjuntos y notación matemática expandida, y expresando la física matemática.
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