Serie matemática

En matemática, una serie es la generalización de la noción de suma, aplicada a los infinitos términos de una sucesión ${displaystyle {a_{n}}={a_{1},a_{2},cdots }}$, lo que suele escribirse con el símbolo de sumatorio:

donde ${displaystyle a_{n}}$ es el «término general» de la sucesión, que usualmente se expresa por medio de un regla, o se obtiene a partir de un algoritmo.

A diferencia de las sumas finitas, las series requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. El estudio de las series consiste en evaluar la suma de un número finito ${displaystyle N}$ de términos sucesivos, y mediante un paso al límite, identificar el comportamiento de la serie a medida que ${displaystyle N}$ crece indefinidamente.

Cuando este límite existe, lo cual no siempre ocurre, se dice que la serie es convergente. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la convergencia de las series, sin necesidad de calcular explícitamente el valor de la serie.

La noción de serie se puede generalizar a otros objeto matemático para los cuales la operación suma esté definida, tal como los números, los vectores, las matrices, las funciones... De particular interés en matemáticas son las series de potencias..

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Para cualquier sucesión ${displaystyle {a_{n}}}$ de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:

La sucesión de sumas parciales ${displaystyle {S_{N}}}$ asociada a la sucesión ${displaystyle {a_{n}}}$ está definida para cada número natural ${displaystyle N}$ como la suma de los ${displaystyle N}$ primeros términos de la sucesión ${displaystyle {a_{n}}}$, desde ${displaystyle a_{1}}$ hasta ${displaystyle a_{N}}$, ambos inclusive:

Por definición, la serie ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ converge al límite ${displaystyle S }$ si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada ${displaystyle S_{N}}$ converge a ${displaystyle S }$. Esta definición suele escribirse como

En caso de que ${displaystyle {S_{N}}}$ sea convergente, y su límite sea ${displaystyle S}$, se dice que ${displaystyle S}$ es la suma de la serie.^[1]​

Puede ser que la sucesión de sumas parciales ${displaystyle {S_{N}}}$ sea divergente, es decir, que tienda a más o a menos infinito. En tal caso se dice que la serie es divergente. También cabe la posibilidad de que no se den ninguna de las dos circunstancias anteriores, por ejemplo la sucesión

tiene una sucesión de sumas parciales oscilante:

con lo cual no es convergente ni divergente.^[2]​

Una serie ${displaystyle S=sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ se dice que es absolutamente convergente, o que su convergencia es absoluta, si es convergente la serie en la que se suman los mismos términos pero en valor absoluto:

Esta condición es más estricta que la anterior, es decir, si una serie es absolutamente convergente entonces es convergente en el sentido ordinario. Lo contrario no es cierto: hay series convergentes que no son absolutamente convergentes. Tales series se dice que son condicionalmente convergentes. Bernhard Riemann probó un teorema que establece que, dada una serie condicionalmente convergente, se pueden reordenar sus términos de forma que la serie resultante converja (en sentido ordinario) a cualquier valor arbitrario o incluso que diverja.^[3]​

En general, una serie geométrica es convergente si solo si ${displaystyle |r|<1}$ y en tal caso, la serie converge a

La serie armónica es divergente.

para cualquier número real ${displaystyle p}$. Una p-serie es convergente si ${displaystyle p>1}$ y diverge en otro caso. El caso límite ${displaystyle p=1}$ es precisamente la serie armónica, que diverge.

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

Por lo que

donde ${displaystyle P}$ y ${displaystyle Q}$ son polinomios en ${displaystyle n}$.

se puede expresar mediante la serie

Dado que estas series siempre convergen en los números reales, no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, ${displaystyle 0,111...={frac {1}{9}}}$; ${displaystyle 1=0,9999...}$ (véase la entrada «0,9 periódico»).

Se puede demostrar que la serie ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ es convergente si y solo si

resultado de que la sucesión de sumas parciales es convergente si y solo si es una sucesión de Cauchy (en un espacio completo). Si todos los términos ${displaystyle a_{n}}$ son cero a partir de cierto ${displaystyle N}$, entonces se cumple la condición anterior, y de hecho la serie se puede identificar con una suma finita. En el caso general, cuando existen infinitos términos no nulos, este resultado no tiene especial utilidad en la práctica. No obstante sí que proporciona una condición necesaria para que una serie sea convergente^[4]​:

Si la serie ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ converge, entonces

Existen diversos criterios para determinar si una serie es convergente. Varios de ellos se basan en determinar como de rápido tienden a cero los términos de la sucesión que se suma. De esta clase son el criterio del cociente (o de d'Alembert), el Criterio de la raíz (o de Cauchy) y el criterio de Raabe. Otros métodos se basan en comparar la serie con otra de la que se conozca su convergencia. De este género son el método de la mayorante (o de la M) y el método del paso al límite del cociente.

Se conocen resultados concretos cuando los términos de la sucesión cumplen alguna condición. Por ejemplo, si la serie es alternante, el criterio de Leibniz dictamina que la serie converge si y solo si

Para el caso de que todos los términos sean no negativos, la serie converge si y solo si la sucesión de sumas parciales es acotada^[5]​. Para este tipo de series se puede emplear el criterio de la integral: si el término general viene dado por ${displaystyle a_{n}=f(n)}$, siendo ${displaystyle f(n)}$ una función real monótona, decreciente y no negativa, entonces el valor de la serie está acotado inferior y superiormente por las siguientes integrales impropias:

En particular, la serie tiene el mismo carácter (convergente o divergente) que la integral del lado izquierdo de la desigualdad. Por ejemplo, en el caso de la serie armónica, donde ${displaystyle a_{n}=1/n}$, la convergencia de la serie depende de la convergencia de la integral

por lo que la serie armónica es divergente.

Es posible definir la suma de dos series convergentes de la siguiente manera^[6]​: dadas ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}=A}$ y ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }b_{n}=B}$, se define la suma

De análoga manera se define el producto por un escalar ${displaystyle c}$ como

Con estas dos operaciones, se puede dotar de estructura de espacio vectorial a conjuntos de series.

El producto de dos series no resulta tan inmediato. Con frecuencia se considera el llamado producto de Cauchy, que se define como

El producto de dos series convergentes puede no ser convergente. No obstante, por uno de los teoremas de Mertens, si ambas series convergen, y una de ellas lo hace absolutamente, entonces la suma del producto converge al producto de las sumas.

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