Punto del infinito

El punto del infinito, punto en el infinito o punto impropio es una entidad topológica y geométrica que se introduce a modo de cierre o frontera infinita del conjunto de los números reales. Cuando se añade a la recta real genera una curva cerrada (véase fig.1) conocida como recta proyectiva real, ${displaystyle mathbb {R} P^{1}}$, que no es equivalente a la recta real ampliada, que tiene dos puntos distintos en el infinito.

${displaystyle {hat {mathbb {R} }}=mathbb {R} cup {infty }}$

Para que el punto en el infinito represente efectivamente el infinito real se define en ${displaystyle {hat {mathbb {R} }}}$ la topología ${displaystyle {hat {T}}}$ formada por todos los conjuntos:

Los conjuntos A son los abiertos de ${displaystyle {hat {mathbb {R} }}}$ que no contienen el :${displaystyle infty }$ mientras que los conjuntos B son los que sí lo contienen.

Sea ${displaystyle x_{n}in mathbb {R} }$ una sucesión de números reales tales que ${displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=infty }$. Dentro del conjunto de los números reales, esto quiere decir únicamente que:

${displaystyle forall K>0 exists min mathbb {N} |{ ext{ si }}n>mRightarrow x_{n} otin [-K,K]}$

Pero esta misma condición implica en ${displaystyle {hat {mathbb {R} }}}$ que

${displaystyle forall B|infty in B exists min N|{ ext{ si }}n>mRightarrow x_{n}in B}$

Es decir, que en ${displaystyle {hat {mathbb {R} }}}$ se escribe también ${displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=infty }$. Sin embargo, sólo en ${displaystyle {hat {mathbb {R} }}}$ se puede decir que la sucesión ${displaystyle x_{n},}$ converge, puesto que ${displaystyle infty otin mathbb {R} }$.

El punto del infinito también puede añadirse al plano complejo, ${displaystyle mathbb {C} ^{1}}$, de manera que se transforme en una superficie cerrada (véase fig.cp1 y fig.cp2), la recta proyectiva compleja, ${displaystyle mathbb {C} P^{1}}$, también llamada esfera de Riemann, una esfera sobre el plano complejo y desde cuyo polo superior se proyectan el resto de puntos de la esfera sobre el plano complejo. De este modo, se establece una biyectividad en la que a cada punto de la esfera le corresponde uno del plano complejo. El homólogo del punto desde el que proyectamos estereográficamente se convierte en el punto del infinito.

Al igual que dos rectas secantes comparten un punto, dos rectas paralelas comparten una dirección, por lo que a esas direcciones también se las conoce como puntos impropios de esas rectas en las que se encuentran. Por ejemplo, en ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ no es posible determinar con exactitud la posición del punto del infinito mediante unas coordenadas absolutas ${displaystyle (x,y),}$. Para conseguirlo, se acude a las coordenadas homogéneas ${displaystyle (x',y',w),}$, donde ${displaystyle x',}$ e ${displaystyle y',}$ representan la dirección del vector director de la recta. Las anteriores coordenadas absolutas ${displaystyle (x,y),}$ vienen dadas por:

${displaystyle (x,y)=left({x' over w},{y' over w} ight)}$

El punto ${displaystyle (4,6),}$ podría representarse, por ejemplo, como ${displaystyle (8,12,2),}$ o como ${displaystyle (2,3,{ frac {1}{2}})}$. La representación del punto del infinito se obtiene igualando ${displaystyle w=0,}$, así:

${displaystyle (x',y',0),}$

El punto del infinito del eje OX sería el ${displaystyle (1,0,0),}$, el ${displaystyle (2,0,0),}$, etc.

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