Producto libre de grupos

En las matemáticas, particularmente en la teoría de grupos, el producto libre de grupos es la construcción de un nuevo grupo a partir de una dada colección de ellos y que permite la inclusión como subgrupos a cada uno de los factores que le construyen.

Para ilustrar la construcción, más precisamente, utilicemos dos grupos G, H. Entonces su producto libre es el grupo ${displaystyle G*H}$ que consiste en un nuevo grupo cuyos elementos tienen la forma canónica

donde los ${displaystyle g_{i}in G}$ y los ${displaystyle h_{i}in H}$ es decir los elementos de G*H son palabras reducidas de letras alternadas que son elementos de los dos grupos G y H respectivamente.

Entonces uno puede pensar que el grupo G está incluido en G*H pues trivialmente vemos que cada elemento de G es una palabra reducida en G*H, y similarmente para H.

Un ejemplo básico es el grupo libre, ${displaystyle F_{2}}$ de rango dos; este, se puede interpretar como

Otro un poco más complejo es ${displaystyle PSL(mathbb {Z} ,2)}$ que se interpreta como

Una manera similar pero más general de construir grupos a partir de antiguos es el producto libre amalgamado, que consiste empezar con dos grupos arbitrarios A, B y un tercer C que se encuentra encajado en ambos A y B, entonces uno toma el cociente ${displaystyle {frac {Astar B}{N(C)}},}$ a partir del producto libre de A con B y haciendo módulo N(C) que es la clausura normal de C en ambos A, B.

En símbolos matemáticos se acostumbra a escribir al producto libre de A con B amalgamados por C como:

Ejemplos de esta construcción aparecen en el teorema de Seifert-van Kampen donde se calcula es grupo fundamental de un espacio topológico en términos de los grupos fundamentales de algunos de sus subespacios.

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