Proceso aleatorio

En la teoría de la probabilidad, un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para usar magnitudes aleatorias que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo.^[1]​ Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y pueden o no estar correlacionadas entre sí.

Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o efectos aleatorios constituye un proceso estocástico. Un proceso estocástico ${displaystyle X_{t}}$ puede entenderse como una familia uniparamétrica de variables aleatorias indexadas mediante el tiempo t. Los procesos estocásticos permiten tratar procesos dinámicos en los que hay cierta aleatoriedad.

Los siguientes son ejemplos dentro del amplio grupo de las series temporales:

Un proceso estocástico se puede definir equivalentemente de dos formas diferentes:

Un proceso se dice «de tiempo continuo» si ${displaystyle T,}$ es un intervalo (usualmente este intervalo se toma como ${displaystyle [0,infty )}$) o de "tiempo discreto" si ${displaystyle T,}$ es un conjunto numerable (solamente puede asumir determinados valores, usualmente se toma ${displaystyle Tsubseteq mathbb {N} }$). Las variables aleatorias ${displaystyle X_{t},}$ toman valores en un conjunto que se denomina espacio probabilístico. Sea ${displaystyle (Omega ,{mathcal {B}},P)}$ un espacio probabilístico. En una muestra aleatoria de tamaño ${displaystyle n}$ se observa un suceso compuesto ${displaystyle E}$ formado por sucesos elementales ${displaystyle omega }$:

${displaystyle E={omega _{1},omega _{2},...,omega _{n}}subset Omega ,}$, de manera que ${displaystyle Ein B,}$.

El suceso compuesto es un subconjunto contenido en el espacio muestral y es un álgebra de Boole ${displaystyle B}$. A cada suceso ${displaystyle omega }$ le corresponde un valor de una variable aleatoria ${displaystyle V}$, de manera que ${displaystyle V}$ es función de ${displaystyle omega }$:

${displaystyle V=V(omega );qquad omega in Omega ,,-infty <V<infty }$

El dominio de esta función o sea el campo de variabilidad del suceso elemental, es el espacio muestral, y su recorrido, o sea el de la variable aleatoria, es el campo de los números reales. Se llama proceso aleatorio al valor en ${displaystyle (A,{mathcal {A}})}$ de un elemento ${displaystyle X=(Omega ,{mathcal {B}},(X_{t})_{tgeq 0},P)}$, donde para todo ${displaystyle tin mathbb {R} ,X_{t},}$ es una variable aleatoria del valor en ${displaystyle (A,{mathcal {A}})}$.

Si se observa el suceso ${displaystyle omega }$ en un momento ${displaystyle t}$ de tiempo:

${displaystyle V}$ define así un proceso estocástico.^[2]​

Si ${displaystyle ({mathcal {B}}_{t})_{t},}$ es una filtración,^[3]​ se llama proceso aleatorio adaptado, al valor en ${displaystyle (A,{mathcal {A}})}$, de un elemento ${displaystyle X=(omega ,{mathcal {B}},{mathcal {B}}_{t},(X_{t})_{t},P)}$, donde ${displaystyle X_{t},}$ es una variable aleatoria ${displaystyle {mathcal {B}}_{t}}$ -medible del valor en ${displaystyle (A,{mathcal {A}})}$. La función ${displaystyle mathbb {R} ightarrow A : tmapsto X_{t}(omega )}$ se llama la trayectoria asociada al suceso ${displaystyle omega ,}$.

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