Plano inclinado
El plano inclinado (también conocido como rampa o pendiente) es una máquina simple que consiste en una superficie plana que forma un ángulo agudo con el suelo y se utiliza para elevar cuerpos a cierta altura. Tiene la ventaja de que se requiere una fuerza menor a la empleada para levantar dicho cuerpo verticalmente (gracias a la descomposición de fuerzas), aunque se deba aumentar la distancia recorrida y vencer la fuerza de rozamiento.
Un plano inclinado es una superficie de apoyo plana inclinada en ángulo, con un extremo más alto que el otro, que se utiliza como ayuda para subir o bajar una carga. El plano inclinado es una de las seis máquinas simples clásicas definidas por los científicos del Renacimiento. Se utilizan mucho para mover cargas pesadas sobre obstáculos verticales; los ejemplos varían desde una rampa utilizada para cargar mercancías en un camión, hasta una persona que camina por una rampa para peatones, hasta un automóvil o un tren que sube una pendiente.
Mover un objeto por un plano inclinado requiere menos fuerza que levantarlo hacia arriba, a costa de un aumento en la distancia recorrida. Su ventaja mecánica, el factor por el que se reduce la fuerza, es igual a la relación entre la longitud de la superficie inclinada y la altura que salva. Debido al principio de conservación de la energía, se requiere la misma cantidad de energía mecánica (trabajo) para levantar un objeto dado una distancia vertical dada, sin tener en cuenta las pérdidas por fricción, pero el plano inclinado permite realizar el mismo trabajo con una fuerza menor ejercida sobre una distancia mayor.
El ángulo de fricción,, también llamado a veces ángulo de reposo, es el ángulo máximo en el que una carga puede permanecer inmóvil en un plano inclinado debido a la fricción, sin deslizarse hacia abajo. Este ángulo es igual al arcotengente del coeficiente de fricción μs entre las superficies.
A menudo se considera que otras dos máquinas simples se derivan del plano inclinado. El wedge se puede considerar un plano inclinado en movimiento o dos planos inclinados conectados en la base. El tornillo consiste en un plano inclinado angosto envuelto alrededor de un cilindro.
El término también puede referirse a una aplicación específica, como en el caso de una rampa recta excavada en una ladera empinada para permitir el transporte de mercancías hacia arriba y hacia abajo. Puede incluir vagones sobre raíles o tirados por un sistema de cables; un funicular o ferrocarril por cable, como el Plano Inclinado de Johnstown.
Las leyes que rigen el comportamiento de los cuerpos en un plano inclinado fueron enunciadas por primera vez por el matemático Simon Stevin, en la segunda mitad del siglo XVI.
Para analizar las fuerzas existentes sobre un cuerpo situado sobre un plano inclinado, hay que tener en cuenta la existencia de varios orígenes en ellas.
Como señaló Dijksterhuis, el argumento de Stevin no es completamente estricto. Las fuerzas ejercidas por la parte colgante de la cadena no necesitan ser simétricas porque la parte colgante “no necesita conservar su forma” cuando se suelta. Incluso si la cadena se suelta con un momento angular cero, el movimiento, incluidas las oscilaciones, es posible a menos que la cadena esté inicialmente en su configuración de equilibrio, una suposición que haría que el argumento fuera circular.
Se han utilizado planos inclinados desde tiempos prehistóricos para mover objetos pesados. Los caminos inclinados y los pedraplenes construidos por civilizaciones antiguas como los romanos son ejemplos de los primeros planos inclinados que han sobrevivido y muestran que entendieron el valor de este dispositivo para mover cargas cuesta arriba. Se cree que las piedras pesadas utilizadas en estructuras de piedra antiguas como Stonehenge se movieron y colocaron en su lugar usando planos inclinados hechos de tierra, aunque es difícil encontrar evidencia de tales rampas de construcción temporales. Las pirámides de Egipto se construyeron utilizando planos inclinados, y rampas de asedio permitieron a los ejércitos antiguos superar las murallas de las fortalezas. Los antiguos griegos construyeron una rampa pavimentada de 6 km (3,7 millas) de largo, el Diolkos, para arrastrar barcos por tierra a través del istmo de Corinto.
Sin embargo, el plano inclinado fue la última de las seis máquinas simples clásicas en ser reconocida como tal. Esto probablemente se deba a que es un dispositivo pasivo e inmóvil (la carga es la parte móvil), y también a que se encuentra en la naturaleza en forma de pendientes y colinas. Aunque entendieron su uso para levantar objetos pesados, los filósofos de la antigua Grecia que definieron las otras cinco máquinas simples, no incluyeron el plano inclinado. Este punto de vista persistió entre algunos científicos posteriores; y en una fecha tan tardía como 1826 Karl von Langsdorf escribió que un plano inclinado "... no es más una máquina que la pendiente de una montaña". El problema de calcular la fuerza requerida para empujar un peso hacia arriba en un plano inclinado (su ventaja mecánica) fue analizado por los filósofos griegos Herón de Alejandría (c. 10 - 60 EC) y Papo de Alejandría (c. 290 - 350 EC), pero ambos se equivocaron en su resolución.
No fue hasta el Renacimiento cuando el plano inclinado se resolvió matemáticamente y se clasificó con las otras máquinas simples. El primer análisis correcto del plano inclinado apareció en la obra del enigmático autor del siglo XIII Jordanus Nemorarius, aunque su solución del problema aparentemente no fue comunicada a otros filósofos de la época. Gerolamo Cardano (1570) propuso la solución incorrecta de que la fuerza a aplicar es proporcional al ángulo del plano. Posteriormente, a finales del siglo XVI, Michael Varro (1584), Simon Stevin (1586) y Galileo Galilei (1592) publicaron tres soluciones correctas a lo largo de diez años. Aunque no fue la primera, la deducción del ingeniero flamenco Simon Stevin es la más conocida, por su originalidad y el uso de un collar de cuentas (véase el recuadro). En 1600, el científico italiano Galileo incluyó el plano inclinado en su análisis de máquinas simples en Le Meccaniche ("Sobre la mecánica"), mostrando su similitud subyacente con las otras máquinas como un amplificador de fuerza.
Las primeras reglas elementales para deslizar objetos con fricción sobre un plano inclinado fueron descubiertas por Leonardo da Vinci (1452-1519), pero quedaron inéditas en sus cuadernos. Fueron redescubiertas por Guillaume Amontons (1699) y Charles-Augustin de Coulomb (1785) las desarrolló aún más. Leonhard Euler (1750) demostró que la tangente del ángulo de rozamiento interno en un plano inclinado es proporcional a la fricción.
Los planos inclinados se utilizan mucho en forma de "rampas" para cargar y descargar mercancías en camiones, barcos y aviones. Las rampas para sillas de ruedas se utilizan para permitir que las personas con movilidad reducida superen obstáculos verticales sin exceder su fuerza. Las escalera mecánicas y las cintas transportadoras inclinadas también son formas de plano inclinado. En un funicular o ferrocarril por cable, un vagón de ferrocarril se sube por un plano inclinado con cables. Los planos inclinados también permiten que tanto personas como objetos pesados y frágiles salven de forma segura un desnivel vertical utilizando la fuerza normal del plano para distribuir el efecto de la gravedad. Las rampas de evacuación de las aeronaves permiten que las personas alcancen el suelo de forma rápida y segura desde la altura del compartimento de pasajeros de un avión comercial.
Otros planos inclinados se construyen en estructuras permanentes. Las carreteras para vehículos y los ferrocarriles tienen planos inclinados en forma de pendientes graduales, rampas y pedraplenes para permitir que los vehículos superen obstáculos verticales como colinas sin perder tracción en la superficie de la carretera. De manera similar, los senderos para peatones y las aceras disponen de rampas suaves para limitar su pendiente, con el fin de garantizar que los peatones puedan mantener las condiciones de tracción necesarias. Los planos inclinados también se utilizan como entretenimiento para que las personas se deslicen hacia abajo de forma controlada, en toboganes, rampas acuáticas, esquí alpino y pistas de patinaje.
El efecto de utilizar un plano inclinado depende de su pendiente, es decir, de su gradiente o inclinación. Cuanto menor sea la pendiente, mayor será la ventaja mecánica y menor la fuerza necesaria para levantar un peso dado. La pendiente s de un plano es igual a la diferencia de altura entre sus dos extremos, o "desnivel", dividida por su longitud horizontal, o "carrera". También se puede expresar por el ángulo que forma el plano con la horizontal, θ.
La ventaja mecánica VM de una máquina simple se define como la relación entre la fuerza resultante sobre la carga y la fuerza aplicada. Para el plano inclinado, la fuerza a vencer es solo la fuerza gravitatoria sobre el objeto cargado en el plano, su peso Fp. La fuerza aplicada es Fi ejercida sobre el objeto, paralelamente al plano, para moverlo hacia arriba remontando la rampa. Las ventajas mecánicas son...
La ventaja mecánica VM de un plano inclinado ideal sin fricción se denomina a veces "ventaja mecánica ideal" (VMI), mientras que cuando se incluye la fricción se denomina "ventaja mecánica real" (VMR).
Si no hay fricción entre el objeto que se mueve y el plano, el dispositivo se denomina "plano inclinado ideal". Se puede abordar esta condición si el objeto está rodando, como un barril, o apoyado sobre ruedas. Debido al principio de conservación de la energía, para un plano inclinado sin fricción, el trabajo realizado sobre la carga que se levanta, Wres, es igual a la fuerza aplicada por la distancia recorrida, Wap
El trabajo se define como la fuerza multiplicada por el desplazamiento que mueve un objeto. El trabajo realizado sobre la carga es igual a su peso multiplicado por el desplazamiento vertical que sube, que es la "elevación" del plano inclinado.
El trabajo aplicado es igual a la fuerza Fap ejercida sobre el objeto multiplicada por la longitud de la diagonal del plano inclinado.
Sustituyendo estos valores en la ecuación de conservación de energía anterior y reorganizando los sumandos
Para expresar la ventaja mecánica en función del ángulo θ del plano, se puede ver en el diagrama de arriba que
Entonces
En consecuencia, la ventaja mecánica de un plano inclinado sin fricción es igual al recíproco del seno del ángulo de inclinación. La fuerza aplicada Fap de esta ecuación es la fuerza necesaria para mantener la carga inmóvil en el plano inclinado o empujarla hacia arriba a una velocidad constante. Si la fuerza de entrada es mayor que el valor anterior, la carga acelerará hacia arriba en el plano; si la fuerza es menor, acelerará hacia abajo.
Donde hay fricción entre el plano y la carga, como por ejemplo con una caja pesada que se desliza por una rampa, parte del trabajo aplicado por la fuerza de entrada se disipa como calor por fricción, Wfric, por lo que se realiza menos trabajo en la carga. Debido a conservación de la energía, la suma del trabajo de salida y las pérdidas de energía por fricción es igual al trabajo de entrada
Por lo tanto, se requiere más fuerza de entrada y la ventaja mecánica es menor que si no hubiera fricción. Con la fricción, la carga solo se moverá si la fuerza neta paralela a la superficie es mayor que la fuerza de fricción Ff que se opone a ella. La fuerza de fricción máxima viene dada por
donde Fn es la fuerza normal entre la carga y el plano, en dirección normal a la superficie, y μ es la fricción entre las dos superficies, que varía con el material. Cuando no se aplica ninguna fuerza de entrada, si el ángulo de inclinación θ del plano es menor que un valor máximo φ, la componente de la fuerza gravitatoria paralela al plano será demasiado pequeña para superar la fricción y la carga permanecerá inmóvil. Este ángulo se denomina ángulo de rozamiento interno y depende de la composición de las superficies, pero es independiente del peso de la carga. A continuación se muestra que la tangente del ángulo de reposo φ es igual a μ
Con fricción, siempre hay algún rango de fuerza aplicada Fap para el cual la carga es estacionaria, (es decir, ni se desliza hacia arriba ni hacia abajo), mientras que con un plano inclinado sin fricción solo hay un valor particular de fuerza de entrada para la cual la carga está estacionaria.
Una carga que descansa sobre un plano inclinado, cuando se considera como un cuerpo libre tiene tres fuerzas actuando sobre ella:
Usando las leyes de Newton, la carga estará estacionaria o en movimiento constante si la suma de las fuerzas sobre ella es cero. Dado que la dirección de la fuerza de fricción es opuesta para el caso de movimiento cuesta arriba y cuesta abajo, estos dos casos deben considerarse por separado:
Las ecuaciones de equilibrio para fuerzas paralelas y perpendiculares al plano son
Las ecuaciones de equilibrio son
La ventaja mecánica de un plano inclinado es la relación entre el peso de la carga sobre la rampa y la fuerza requerida para hacerla subir. Si la energía no se disipa ni se almacena en el movimiento de la carga, esta ventaja mecánica puede calcularse a partir de las dimensiones de la rampa.
Para demostrar esto, sea r la posición de un vagón en una rampa con un ángulo θ por encima de la horizontal, dada por
donde R es la distancia en la rampa. La velocidad del vagón en la rampa es ahora
Debido a que no hay pérdidas, la potencia utilizada por la fuerza "F" para subir la carga por la rampa es igual a la potencia resultante, que es la elevación vertical del peso "p" de la carga.
La potencia de entrada que hace subir el vagón por la rampa está dada por
y la potencia resultante es
Igualando la potencia aplicada y la potencia resultante, se obtiene la ventaja mecánica como
La ventaja mecánica de una rampa inclinada también se puede calcular a partir de la relación entre la longitud de la rampa L y su altura vertical V, porque el seno del ángulo de la rampa está dado por
por lo tanto,
Ejemplo: si la altura de una rampa es V = 1 metro y su longitud es L = 5 metros, entonces la ventaja mecánica es
lo que significa que una fuerza de 20 kg levantará una carga de 100 kg.
El plano inclinado Liverpool Minard tiene unas dimensiones de 1804 metros por 37,50 metros de desnivel, lo que proporciona una ventaja mecánica de
por lo que una fuerza de tensión de 100 kp en el cable levantará una carga de 4810 kp. El grado de esta pendiente es del 2 %, lo que significa que el ángulo θ es lo suficientemente pequeño como para que sen θ=tan θ.
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Comentarios
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EEEE:
ES MUY LARGO
2023-05-29 09:58:24
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jofe alexsander:
jhyiwdewfr
2023-03-30 14:51:16
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