Plano de Fano

En geometría proyectiva, el plano de Fano (cuyo nombre se debe a Gino Fano) es el plano proyectivo finito con el menor número posible de puntos y líneas: solo 7 de cada uno.

Está construido sobre el espacio vectorial ${displaystyle Z_{2}^{3}}$ y sus siete puntos pueden representarse como coordenadas homogéneas utilizando una codificación binaria de números distintos de cero, de la siguiente manera:

Otra manera de definir el plano de Fano es mediante los siguientes axiomas:

Los dos últimos axiomas son los que realmente determinan un plano de Fano.

Sea A={1,2,3,4,5,6,7} el conjunto de vértices que conforman el Plano de Fano, entonces este también puede representarse como el hipergrafo conformado por las hiperaristas {1,2,3}, {1,4,7}, {1,5,6}, {2,4,5}, {2,6,7}, {3,4,6} y {3,5,7}. Una tercera manera de definir el Plano de Fano es, entonces, a través de la matriz de incidencia de este hipergrafo. Es decir, como la matriz booleana:

1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 1 0

0 1 0 1 1 0 0

0 1 0 0 0 1 1

0 0 1 1 0 1 0

0 0 1 0 1 0 1