Orden multiplicativo

En teoría de números, dado un número entero a y un entero positivo n coprimo con a (es decir, tal que mcd(a,n) = 1), el orden multiplicativo de a módulo n es el menor entero positivo k que cumple

El orden de a (mód n) se suele denotar ord_n a, o bien O_n(a).

Por ejemplo, para determinar el orden multiplicativo de 4 módulo 7, calculamos 4² = 16 ≡ 2 (mód 7) y 4³ ≡ 64 ≡ 1 (mód 7), por tanto, ord₄(7) = 3.

Sin saber que estamos trabajando en un grupo finito, se puede demostrar que a tiene un orden si las potencias de a sólo pueden tomar un número finito de valores módulo n, por lo que debe haber dos exponentes, s y t, tales que a^s ≡ a^t (mód n). Como a y n son coprimos, esto implica que a^|s-t| ≡ 1 módulo n.

El concepto de orden multiplicativo es un caso especial del orden de elementos de un grupo. El orden multiplicativo de un número a módulo n es el orden de a en el grupo multiplicativo cuyos elementos son los residuos módulo n de los números coprimos con n, y cuya operación de grupo es la multiplicación módulo n. Este es el grupo de unidades del anillo Z_n; tiene φ(n) elementos (donde φ denota la función φ de Euler), y se denota por U(n) o U(Z_n).

Como consecuencia del teorema de Lagrange, ord_na siempre divide a φ(n). Si ord_n a es igual a φ(n) y por tanto tiene el valor máximo que puede tener, entonces a se dice raíz primitiva módulo n. Esto significa que el grupo U(n) es cíclico y la clase de residuos de a lo genera.

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