Ondas elásticas

Una onda elástica es una perturbación tensional que se propaga a lo largo de un medio elástico. Por ejemplo las ondas sísmicas ocasionan temblores que pueden tratarse como ondas elásticas que se propagan por el terreno.

En un medio elástico isótropo y lineales no sometido a fuerzas de volumen, la ecuación de movimiento de una onda elástica que relaciona la velocidad de propagación con las tensiones existentes en el medio elástico vienen dadas, usando el convenio de sumación de Einstein, por:

(1)${displaystyle {frac {partial sigma _{ij}}{partial x_{j}}}= ho left({frac {partial v_{i}}{partial t}}+v_{j}{frac {partial v_{i}}{partial x_{j}}} ight)}$

Donde ${displaystyle ho ,}$ es la densidad y el término entre paréntesis del segundo término coincide con la aceleración o derivada segunda del desplazamiento. Si el medio es isótropo, reescribiendo la ecuación anterior en términos de los desplazamientos producidos por la onda elástica, mediante las ecuaciones de Lamé-Hooke y las relaciones del tensor deformación con el vector desplazamiento, tenemos:

(2a)${displaystyle {frac {E}{2(1+ u )}}{frac {partial ^{2}u_{i}}{partial x_{k}^{2}}}+{frac {E}{2(1+ u )(1-2 u )}}{frac {partial ^{2}u_{k}}{partial x_{k}partial x_{i}}}= ho {ddot {u}}_{i}}$

Que escrita en la forma vectorial convencional resulta:

(2b)${displaystyle {frac {E}{2(1+ u )}}Delta mathbf {u} +{frac {E}{2(1+ u )(1-2 u )}}{oldsymbol { abla }}({oldsymbol { abla }}cdot mathbf {u} )= ho {ddot {mathbf {u} }}}$

En general una onda elástica puede ser una combinación de ondas longitudinales y de ondas transversales. Una manera simple de demostrar esto considerar la propagación de ondas planas en las que el vector de desplazamientos provocados por el paso de la onda tiene la forma ${displaystyle mathbf {u} =mathbf {u} (x,t)}$. En este caso la ecuación (2b) se reduce para una onda plana a:

${displaystyle {frac {partial ^{2}u_{x}}{partial t^{2}}}=E{frac {1- u }{ ho (1+ u )(1-2 u )}}{frac {partial ^{2}u_{x}}{partial x^{2}}},qquad {frac {partial ^{2}u_{y}}{partial t^{2}}}={frac {E}{ ho (1+ u )}}{frac {partial ^{2}u_{y}}{partial x^{2}}},qquad {frac {partial ^{2}u_{z}}{partial t^{2}}}={frac {E}{ ho (1+ u )}}{frac {partial ^{2}u_{z}}{partial x^{2}}}}$

En las ecuaciones anteriores la componente X es una onda longitudinal que se propaga con velocidad ${displaystyle v_{L}}$ mientras que la componente en las otras dos direcciones es transversal y se propaga con velocidad ${displaystyle v_{T}}$:

${displaystyle {egin{matrix}u_{x}(x,t)=f_{1}left(t-{frac {x}{v_{L}}} ight)+g_{1}left(t+{frac {x}{v_{L}}} ight)\u_{y}(x,t)=f_{2}left(t-{frac {x}{v_{T}}} ight)+g_{2}left(t+{frac {x}{v_{T}}} ight)\u_{z}(x,t)=f_{3}left(t-{frac {x}{v_{T}}} ight)+g_{3}left(t+{frac {x}{v_{T}}} ight)end{matrix}}}$

Donde la velocidad de la onda longitudinal y de la onda transversal vienen dadas por:

${displaystyle v_{L}={sqrt {frac {E(1- u )}{ ho (1+ u )(1-2 u )}}},qquad v_{T}={sqrt {frac {E}{2 ho (1+ u )}}}}$

Siendo:

La siguiente tabla da las velocidades de propagación de las ondas longitudinales y transversales en diferentes materiales:^[1]​

Una descomposición más general de una onda elástica que responde a la ecuación (2b) es la descomposición de Helmholtz para campos vectoriales, en una componente longitudinal a lo largo de la dirección del recorrido de la propagación y una onda transversal a la misma. Estas dos componentes se llaman usualmente componente P (onda P o primaria) y componente S (onda S o secundaria).

Para ver esto se define los potenciales de Helmholtz del campo de desplazamiento:

${displaystyle mathbf {u} =mathbf {u} _{L}+mathbf {u} _{T},qquad {egin{cases}mathbf {u} _{L}={oldsymbol { abla }}phi \mathbf {u} _{T}={oldsymbol { abla }} imes {oldsymbol {psi }}end{cases}}}$

Las ondas de Rayleigh son ondas superficiales elípticas, que son una solución de la ecuación (2b), cuya amplitud disminuye exponencialmente con la profundidad. Un modelo simple de ondas de Rayleigh es que se da en un medio elástico semi-infinito, que podría representar el terreno. En términos de los potenciales elásticos, este tipo de ondas tienen la forma matemática:

${displaystyle phi (x,z)=Ae^{-rz}cos left(omega left(t-{frac {x}{v_{R}}} ight) ight),qquad psi (x,z)=Be^{-sz}cos left(omega left(t-{frac {x}{v_{R}}} ight) ight)}$

Siendo:

${displaystyle left({2-{frac {v_{R}^{2}}{v_{T}^{2}}}} ight)^{2}=4{sqrt {1-{frac {v_{R}^{2}}{v_{T}^{2}}}}}{sqrt {1-{frac {v_{R}^{2}}{v_{L}^{2}}}}}}$

${displaystyle r={frac {omega }{v_{R}}}{sqrt {1-{frac {v_{R}^{2}}{v_{L}^{2}}}}}>0,qquad s={frac {omega }{v_{R}}}{sqrt {1-{frac {v_{R}^{2}}{v_{T}^{2}}}}}>0}$

Las ondas de Love son ondas superficiales, que requieren la existencia de una capa superficial con propiedades mecánicas ligeramente diferente de las capas más profundas.

En un medio elástico anisótropo y lineal cuya ecuación constitutiva viene dada por:

${displaystyle sigma _{ij}=C_{ijkl}varepsilon _{kl},}$

En ausencia de fuerzas de volumen la ecuación de movimiento vendrá dada por:ndo el convenio de sumación de Einstein, por:

(1b)${displaystyle ho {frac {partial ^{2}u_{i}}{partial t^{2}}}={frac {partial sigma _{ij}}{partial x_{j}}}={frac {1}{2}}C_{ijkl}{frac {partial }{partial x_{j}}}left({frac {partial u_{k}}{partial x_{l}}}+{frac {partial u_{l}}{partial x_{k}}} ight)}$

Usando la simetría ${displaystyle C_{ijkl}=C_{ijlk},}$ la expresión anterior se puede escribir simplemente como:

${displaystyle ho {frac {partial ^{2}u_{i}}{partial t^{2}}}=C_{ijkl}{frac {partial ^{2}u_{l}}{partial x_{j}partial x_{k}}}}$

La ecuación (1b) es ligeramente más complicada que la ecuación (1a) para comprobar si existen soluciones en forma de ondas planas buscamos soluciones complejas (la solución física real se puede tomar como la parte real de dichas soluciones) de la forma:

(*)${displaystyle u_{i}=A_{i}e^{i(kmathbf {n} cdot mathbf {x} -omega t)}}$

Donde:

Substituyendo (*) en (1b) se tiene que:

${displaystyle omega ^{2}A_{i}={frac {C_{ijkl}}{ ho }}k^{2}n_{j}n_{k}A_{l}quad Rightarrow quad left({frac {C_{ijkl}}{ ho }}n_{j}n_{k}-{frac {omega ^{2}}{k^{2}}}delta _{il} ight)A_{l}=0}$

Definiendo la velocidad de fase como ${displaystyle scriptstyle v=omega /k}$ se tiene la existencia de soluciones de ondas planas implican que el valor admisible de la velocidad debe ser solución de la ecuación:

(3)${displaystyle det left({frac {C_{ijkl}}{ ho }}n_{j}n_{k}-{frac {omega ^{2}}{k^{2}}}delta _{il} ight)=det left({frac {{hat {C}}_{il}}{ ho }}-v^{2}delta _{il} ight)=0}$

Ya que esa es la condición que garantiza que el sistema sea compatible indeterminado. Dado que la matriz de componentes ${displaystyle scriptstyle {hat {C}}_{il}}$ es simétrica y definida positiva por los requerimientos sobre el tensor de constantes elásticas), las soluciones posibles para ${displaystyle scriptstyle v^{2}}$ son números reales positivos. Esos valores son precisamente los autovalores del problema (3), y sus valores propios asociados dan las amplitudes relativas. Los tres vectores forman un sistema ortogonal, uno de ellos es paralelo o aproximadamente paralelo a la dirección de propagación de propagación (modo cuasi-longitudinal) y los otros dos son perpendiculares o aproximadamente perpendicular a la dirección de la misma (modos cuasi-transversales).

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