Movimiento relativo

El movimiento siempre es un concepto relativo porque debe referirse a un sistema de referencia o sistema referencial particular escogido por el observador. Puesto que diferentes observadores pueden utilizar referenciales distintos, es importante relacionar las observaciones realizadas por aquellos. Una partícula se encuentra en movimiento en un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo; en caso contrario, la partícula está en reposo en dicho referencial. De estas definiciones, vemos que tanto el concepto de movimiento como el de reposo son relativos. Así, el pasajero (B) que está sentado en un vagón de ferrocarril (C) se encuentra en reposo con respecto al vagón; pero como el tren se mueve con respecto a la Tierra, el pasajero se encuentra en movimiento con respecto a los árboles (A) que observa desde el tren. A su vez, esos árboles están en reposo respecto de la Tierra, pero en movimiento respecto del pasajero del tren. A efectos prácticos, podemos distinguir dos modalidades de movimiento relativo:

En este caso, el movimiento relativo hace referencia al que presenta una partícula con respecto a un sistema de referencia (xyz), llamado referencial relativo o móvil por estar en movimiento con respecto a otro sistema de referencia (XYZ) considerado como referencial absoluto o fijo.

El movimiento de un referencial respecto al otro puede ser una traslación, una rotación o una combinación de ambas (movimiento rototraslatorio).

La velocidad ${displaystyle mathbf {v} _{ ext{F}},}$ de una partícula en un referencial fijo o absoluto y su velocidad ${displaystyle mathbf {v} _{ ext{M}},}$ en un referencial móvil o relativo están relacionadas mediante esta expresión:

(1)${displaystyle mathbf {v} _{ ext{F}}=mathbf {v} _{ ext{M}} +mathbf {v} _{ ext{o}} +{oldsymbol {omega }} imes mathbf {r} }$

siendo:

Los dos últimos términos representan la velocidad de arrastre total, de modo que podemos escribir

${displaystyle mathbf {v} _{ ext{arr}}=mathbf {v} _{ ext{o}} +{oldsymbol {omega }} imes mathbf {r} }$

que coincide con la velocidad correspondiente a un punto de un sólido rígido en movimiento.

Podemos expresar la velocidad de la partícula en el referencial fijo en la forma

${displaystyle mathbf {v} _{ ext{F}}=mathbf {v} _{ ext{M}} +mathbf {v} _{ ext{arr}}}$

La aceleración ${displaystyle mathbf {a} _{ ext{F}},}$ de una partícula en un referencial fijo o absoluto y su aceleración ${displaystyle mathbf {a} _{ ext{M}},}$ en un referencial móvil o relativo están relacionadas mediante la expresión:

(1)${displaystyle mathbf {a} _{ ext{F}}=mathbf {a} _{ ext{M}} +mathbf {a} _{ ext{o}} +{dot {oldsymbol {omega }}} imes mathbf {r} +{oldsymbol {omega }} imes ({oldsymbol {omega }} imes mathbf {r} ) +2{oldsymbol {omega }} imes mathbf {v} _{ ext{M}}}$

siendo:

Si la partícula se encuentra en reposo en el referencial móvil, esto es, si ${displaystyle mathbf {v} _{ ext{M}}=0,}$ y ${displaystyle mathbf {a} _{ ext{M}}=0,}$, su aceleración en el referencial fijo es la aceleración de arrastre, que viene dada por

${displaystyle mathbf {a} _{ ext{arr}}=mathbf {a} _{ ext{o}} +{dot {oldsymbol {omega }}} imes mathbf {r} +{oldsymbol {omega }} imes ({oldsymbol {omega }} imes mathbf {r} )}$

que coincide con la aceleración correspondiente un punto de un sólido rígido en movimiento.

Podemos expresar la aceleración de la partícula en el referencial fijo en la forma

${displaystyle mathbf {a} _{ ext{F}}=mathbf {a} _{ ext{M}} +mathbf {a} _{ ext{arr}} +mathbf {a} _{ ext{C}}}$

La aceleración de una partícula en un referencial fijo o absoluto ${displaystyle mathbf {a} _{ ext{F}},}$ y en un referencial móvil o relativo, ${displaystyle mathbf {a} _{ ext{M}},}$, están relacionadas mediante la expresión:

${displaystyle mathbf {a} _{ ext{F}}=mathbf {a} _{ ext{M}} +mathbf {a} _{ ext{o}}}$

La aceleración de una partícula en un referencial fijo o absoluto ${displaystyle mathbf {a} _{ ext{F}},}$ y en un referencial móvil o relativo, ${displaystyle mathbf {a} _{ ext{M}},}$, están relacionadas mediante la expresión:

${displaystyle mathbf {a} _{ ext{F}}=mathbf {a} _{ ext{M}} +{dot {oldsymbol {omega }}} imes mathbf {r} +{oldsymbol {omega }} imes ({oldsymbol {omega }} imes mathbf {r} ) +2{oldsymbol {omega }} imes mathbf {v} _{ ext{M}}}$

Consideremos dos partículas, A y B, que se mueven en el espacio y sean ${displaystyle mathbf {r} _{ ext{A}}}$ y ${displaystyle mathbf {r} _{ ext{B}}}$ sus vectores de posición con respecto al origen O de un referencial dado. Las velocidades de A y B medidas en ese referencial serán

(1)${displaystyle mathbf {v} _{ ext{A}}={frac {dmathbf {r} _{ ext{A}}}{dt}}qquad mathbf {v} _{ ext{B}}={frac {dmathbf {r} _{ ext{B}}}{dt}}}$

Los vectores de posición (relativa) de la partícula B con respecto a la A y de la A con respecto a la B están definidos por

(2)${displaystyle mathbf {r} _{ ext{BA}}={overrightarrow { ext{AB}}}=mathbf {r} _{ ext{B}}-mathbf {r} _{ ext{A}}qquad mathbf {r} _{ ext{AB}}={overrightarrow { ext{BA}}}=mathbf {r} _{ ext{A}}-mathbf {r} _{ ext{B}}}$

y las velocidades (relativas) de B con respecto a A y de A con respecto a B son

(3)${displaystyle mathbf {v} _{ ext{BA}}={frac {dmathbf {r} _{ ext{BA}}}{dt}}qquad mathbf {v} _{ ext{AB}}={frac {dmathbf {r} _{ ext{AB}}}{dt}}}$

Puesto que ${displaystyle mathbf {r} _{ ext{BA}}=-mathbf {r} _{ ext{AB}}}$, también resulta que ${displaystyle mathbf {v} _{ ext{BA}}=-mathbf {v} _{ ext{AB}}}$, de modo que las velocidades relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B son iguales y opuestas.

Efectuando las derivadas (3), resulta

(4)${displaystyle {frac {dmathbf {r} _{ ext{BA}}}{dt}}={frac {dmathbf {r} _{ ext{B}}}{dt}}-{frac {dmathbf {r} _{ ext{A}}}{dt}}qquad {frac {dmathbf {r} _{ ext{AB}}}{dt}}={frac {dmathbf {r} _{ ext{A}}}{dt}}-{frac {dmathbf {r} _{ ext{B}}}{dt}}}$

o sea que

(5)${displaystyle mathbf {v} _{ ext{BA}}=mathbf {v} _{ ext{B}}-mathbf {v} _{ ext{A}}qquad mathbf {v} _{ ext{AB}}=mathbf {v} _{ ext{A}}-mathbf {v} _{ ext{B}}}$

de modo que obtendremos la velocidad relativa entre las dos partículas restando vectorialmente sus velocidades con respecto a un mismo referencial (Oxyz en la figura).

Derivando de nuevo las expresiones (5) tenemos para las aceleraciones relativas

(6)${displaystyle {frac {dmathbf {v} _{ ext{BA}}}{dt}}={frac {dmathbf {v} _{ ext{B}}}{dt}}-{frac {dmathbf {v} _{ ext{A}}}{dt}}qquad {frac {dmathbf {v} _{ ext{AB}}}{dt}}={frac {dmathbf {v} _{ ext{A}}}{dt}}-{frac {dmathbf {v} _{ ext{B}}}{dt}}}$

Los primeros miembros de (6) son las aceleraciones relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B. Los otros términos son las aceleraciones de A y de B con respecto a un mismo observador Oxyz.

Tenemos

(7)${displaystyle mathbf {a} _{ ext{BA}}=mathbf {a} _{ ext{B}}-mathbf {a} _{ ext{A}}qquad mathbf {a} _{ ext{AB}}=mathbf {a} _{ ext{A}}-mathbf {a} _{ ext{B}}}$

siguiéndose para las aceleraciones relativas la misma regla que para las velocidades.

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