Lógica de clases

La lógica de clases analiza la proposición lógica considerando la pertenencia o no pertenencia de un elemento o individuo clasificado por poseer una determinada propiedad.^[1]​ Sobre esta lógica se formaliza como modelo científico la teoría matemática de conjuntos.

Por clase se entiende un conjunto de posibles individuos que tienen una propiedad común. Nótese que la clase define una propiedad, no al individuo; lo que diferencia la lógica de clases de la lógica de predicados. El valor de verdad de la primera viene dado por la pertenencia o no pertenencia del individuo a la clase; su tabla de valores de verdad lógica se explicita como tablas de pertenencia.

La relación entre individuo, conjunto de individuos y clase es compleja y no siempre es clara en el lenguaje.

A veces se confunden en el lenguaje los individuos o el conjunto de individuos con la clase lógica o un Todo-lógico, distribuido o no-distribuido, como si fuera un conjunto de individuos existentes.

Tal puede ocurrir cuando se utilizan lingüísticamente pronombres vagos como: algún, cualquiera o todos (considerando tales pronombres como sustitución de uno, uno por uno o cualquiera de todos o algunos de los posibles elementos de la clase lógica como si fueran individuos reales y existentes). Se confunde de este modo la propiedad de una clase lógica, como unidad lógica del pensamiento, con la clase natural formada por individuos; como si fuera aquella un conjunto numerable.^[2]​^[3]​

La clase tiene sentido aun cuando no existan individuos. Así, la clase hombre, como concepto de hombre, existe como propiedad o concepto aunque no existan los hombres. De la misma forma que existe el concepto de "caballos con alas", aun cuando no existan pegasos. Pero ni el concepto pegaso es un "pegaso" ni el concepto hombre es un "individuo humano" que pertenezca al conjunto.^[4]​

Así, no es lo mismo decir: "Hs = Sócrates es un hombre" (donde atribuimos una cualidad que atañe al ser mismo de Sócrates), que decir: "S ${displaystyle in }$ H = Sócrates pertenece a la clase de los hombres."

Actualmente la lógica llamada tradicional, silogística, se interpreta como lógica de clases.

a) Clase complementaria: clase complementaria de una clase A es la clase formada por todos los elementos que no pertenecen a esa clase A.

${displaystyle A=igwedge x(xin A)}$

${displaystyle {ar {A}}=igwedge x(x otin A)}$ Observemos que equivale a la negación.

b) Clase unión o unión de clases: la clase unión de dos clases A y B es la clase formada por los elementos que pertenecen a una o a otra clase.

A = ${displaystyle igwedge x(xin A)}$

B = ${displaystyle igwedge x(xin B)}$

${displaystyle Acup B}$ = ${displaystyle igwedge x(xin Alor xin B)}$

Observamos que equivale a la disyunción.

b)Intersección de clases o clase intersección: clase intersección de dos clases A y B es la clase formada por los elementos que pertenecen a una y a otra clase.

A = ${displaystyle igwedge x(xin A)}$

B = ${displaystyle igwedge x(xin B)}$

${displaystyle Acap B}$ = ${displaystyle igwedge x(xin Aland xin B)}$

Observamos que equivale a la conjunción.

c)Diferencia: clase diferencia es la clase formada por los elementos de A que no pertenecen a B.

A = ${displaystyle igwedge x(xin A)}$

B = ${displaystyle igwedge x(xin B)}$

${displaystyle A-B=Acap {overline {B}}}$ = ${displaystyle igwedge x(xin Aland xin {overline {B}})}$

a) Identidad o equivalencia: puede suceder que todos los miembros de una clase lo sean también de otra, y viceversa. Por ejemplo:

${displaystyle A=igwedge x(xin A)}$;

${displaystyle B=igwedge x(xin B)}$

${displaystyle A=B}$; ${displaystyle def.igwedge x(xin Aleftrightarrow xin B)}$

A = Todos los niños que tienen un año de edad. B = Todos los niños nacidos hace un año.

Pongamos atención en que la equivalencia se refiere a la extensión de los individuos que pertenecen a la clase, pero formalmente la propiedad que la define puede ser diversa. Por ello tiene sentido decir A = B como clases diferentes, pero equivalentes.

b) Inclusión: cuando todos los miembros de una clase pertenecen a otra

${displaystyle A=igwedge x(xin A)}$;

${displaystyle B=igwedge x(xin B)}$

${displaystyle Asubset B}$; ${displaystyle def.igwedge x(xin A ightarrow xin B)}$

c) Disyunción: cuando ningún elemento de B pertenece a A, ni ningún elemento de A pertenece a B.

${displaystyle A=igwedge x(xin A)}$;

${displaystyle B=igwedge x(xin B)}$

${displaystyle A|B}$; ${displaystyle def.igwedge x(xin A ightarrow x otin B)land (xin B ightarrow otin A)}$; ${displaystyle A|B=Asubset {ar {B}}}$

La clásica clasificación aristotélica:

Tipo A: todos los S son P. "Todos los hombres son mortales", se interpreta como:^[7]​

${displaystyle igwedge x(xin S o xin P)leftrightarrow quad Ssubset P}$

Tipo E: ningún S es P. "Ningún hombre es mortal", se interpreta como:

${displaystyle igwedge x(xin S o x otin P)}$ ${displaystyle leftrightarrow }$ ${displaystyle Ssubset {ar {P}}}$

Tipo I: algún S es P. "Algún hombre es mortal", se interpreta como

${displaystyle igvee x(xin Sland xin P)}$ ${displaystyle leftrightarrow }$ ${displaystyle Scap P}$

Tipo O: algún S es No-P. ´"Algún hombre no es mortal", se interpreta como

${displaystyle igvee x(xin Sland x otin P)}$ ${displaystyle leftrightarrow }$ ${displaystyle lnot (Ssubset P)}$

Leyes asociativas: ${displaystyle Acup (Bcup C)=(Acup B)cup C}$

Leyes conmutativas: ${displaystyle Acup B=Bcup A}$

Leyes distributivas: ${displaystyle Acup (Bcap C)=(Acup B)cap (Acup C)}$

Ley de involución: ${displaystyle A={ar {ar {A}}}}$

Leyes de De Morgan: ${displaystyle lnot (Acup B)leftrightarrow {ar {ar {A}}}cap {ar {ar {B}}}}$

Leyes de absorción: ${displaystyle Acup (Acap B)=A}$

Ley de contraposición: ${displaystyle Asubset B={ar {B}}subset {ar {A}}}$

Ley de la transitividad: ${displaystyle {ig [}(Asubset B)wedge (Bsubset C){ig ]} o (Asubset C)}$

Junto con estas leyes específicas se mantienen las mismas reglas del cálculo de enunciados, en las relaciones de unas proposiciones con otras.

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