Juego estocástico

En la teoría de juegos, un juego estocástico, introducido por Lloyd Shapley a principios de 1950, es un juego dinámico con transiciones probabilísticas jugado por uno o más jugadores. El juego se desarrolla en una secuencia de etapas. Al comienzo de cada etapa del juego se está en algún estado. Los jugadores eligen acciones y cada jugador recibe un pago que depende del estado actual y las acciones elegidas. El juego se mueve a un nuevo estado aleatoriamente cuya distribución depende del estado previo y las acciones elegidas por los jugadores. El procedimiento se repite en el nuevo estado y el juego continúa por un número finito o infinito de etapas. El pago total a un jugador se toma a menudo como la suma descontada de los pagos etapa por etapa o el límite inferior de los promedios de las rentabilidades de cada etapa.

Los juegos estocásticos generalizan tanto los procesos de decisión de Markov y los juegos repetidos.

Los ingredientes de un juego estocástico son: un conjunto finito de jugadores ${displaystyle I}$; Un espacio de estados ${displaystyle M}$, (Ya sea un conjunto finito o un espacio medible ${displaystyle (M,{mathcal {A}})}$, un conjunto de jugadores ${displaystyle iin I}$, Un conjunto de acciones ${displaystyle S^{i}}$ (Ya sea un conjunto finito o un espacio medible ${displaystyle (S^{i},{mathcal {S}}^{i})}$); una transición de probabilidad ${displaystyle M imes S}$, donde ${displaystyle S= imes _{iin I}S^{i}}$ son los perfiles de acción a ${displaystyle M}$, donde ${displaystyle P(Amid m,s)}$ es la probabilidad de que el siguiente estado este en ${displaystyle A}$, dado el estado actual es ${displaystyle m}$ y el perfil de acción actual es ${displaystyle s}$.

El juego comienza en un estado inicial ${displaystyle m_{1}}$. En la etapa ${displaystyle t}$, Los jugadores primero observan ${displaystyle m_{t}}$, a continuación, elija simultáneamente acciones ${displaystyle s_{t}^{i}in S^{i}}$, posteriormente observe el perfil de acción ${displaystyle s_{t}=(s_{t}^{i})_{i}}$ , en donde la naturaleza selecciona ${displaystyle m_{t+1}}$ de acuerdo a la probabilidad ${displaystyle P(cdot mid m_{t},s_{t})}$. Una jugada del partido estocástico, ${displaystyle m_{1},s_{1},ldots ,m_{t},s_{t},ldots }$, Define una corriente de pagos ${displaystyle g_{1},g_{2},ldots }$, en donde ${displaystyle g_{t}=g(m_{t},s_{t})}$.

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