Homomorfismos

En matemáticas, un homomorfismo (o a veces simplemente morfismo) desde un objeto matemático a otro con la misma estructura algebraica, es una función que preserva las operaciones definidas en dichos objetos.

Sean ${displaystyle {mathcal {A}}=(A,circ _{1},ldots ,circ _{k})}$ y ${displaystyle {mathcal {B}}=(B,*_{1},ldots ,*_{k})}$ dos sistemas algebraicos del mismo tipo, donde ${displaystyle A,B}$ son conjuntos y ${displaystyle circ _{1},ldots ,circ _{k},*_{1},ldots ,*_{k}}$ son las operaciones algebraicas definidas en dichos conjuntos.

Una función ${displaystyle phi :A o B}$ es un homomorfismo si verifica:
${displaystyle phi (circ _{i}(a_{1},ldots ,a_{n}))=*_{i}(phi (a_{1}),ldots ,phi (a_{n}))}$ para cada i = 1,...,k y ${displaystyle a_{1},ldots ,a_{n}in A}$.

Por lo tanto, si ${displaystyle (G,*), (H,cdot )}$ son grupos, según la definición una función ${displaystyle f:G ightarrow H}$ es un homomorfismo de grupos si:

Puede probarse que si una función cumple la primera condición entonces cumple las otras dos, de ahí que en la definición clásica de homomorfismo de grupos no se pidan las otras condiciones.

Las transformaciones lineales son exactamente las funciones que cumplen esto (las condiciones 3 y 4 se deducen de 1 y 2). Por lo tanto, los homomorfismos de espacios vectoriales son las transformaciones lineales.

Las condiciones 3 y 4 se deducen de la primera, de ahí que en la definición clásica no se pidan.

En el caso de anillos con unidad, también se exige ${displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$.

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