Grado de una extensión

En matemática, concretamente en teoría de cuerpos, el grado de extensión de un cuerpo es una medida aproximada del «tamaño» de la extensión. El concepto juega un papel importante en muchas partes de las matemáticas, incluyendo el álgebra y la teoría de números — de hecho, en cualquiera en la que los cuerpos aparezcan regularmente —.

Suponga que L:K es una extensión de cuerpos. Entonces L puede ser considerado como un espacio vectorial sobre K (el cuerpo de los escalares). Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de ${displaystyle L}$ como espacio vectorial sobre ${displaystyle K}$, denotado por ${displaystyle dim _{K}(L)}$. Se denomina grado de la extensión ${displaystyle L:K}$ a la dimensión de ${displaystyle L}$ como ${displaystyle K}$-espacio vectorial: ${displaystyle [L:K]=dim _{K}(L)}$.

Sea ${displaystyle L}$ una extensión de ${displaystyle K}$, y sea ${displaystyle E}$ un subcuerpo de ${displaystyle L}$ que es a su vez extensión de ${displaystyle K}$. Entonces se cumple que ${displaystyle [L:K]=[L:E][E:K]}$.

${displaystyle l=sum _{iin I}alpha _{i}cdot l_{i}=sum _{iin I}(sum _{jin J}eta _{i,j}cdot e_{j})cdot l_{i}=sum _{iin I}sum _{jin J}eta _{i,j}(cdot e_{j}cdot l_{i})}$.

Esto demuestra que ${displaystyle {e_{j}cdot l_{i}:jin J,iin I}}$ es un sistema generador del ${displaystyle K}$-espacio vectorial ${displaystyle L}$.

Supongamos ahora que tenemos una combinación lineal ${displaystyle 0=sum _{iin I}sum _{jin J}eta _{i,j}(cdot e_{j}cdot l_{i})=sum _{iin I}(sum _{jin J}eta _{i,j}cdot e_{j})cdot l_{i}}$. Como ${displaystyle {l_{i}:iin I}}$ es base del ${displaystyle E}$-espacio vectorial ${displaystyle L}$ y ${displaystyle sum _{jin J}eta _{i,j}cdot e_{j}in E}$ cualquiera que sea el ${displaystyle iin I}$, tenemos que ha de ocurrir que en cada ${displaystyle iin I}$ sea ${displaystyle sum _{jin J}eta _{i,j}cdot e_{j}=0}$. Ahora bien, como ${displaystyle {e_{j}:jin J}}$ es base del ${displaystyle K}$-espacio vectorial ${displaystyle E}$, entonces ha de ser ${displaystyle b_{i,j}=0}$, cualesquiera que sean el ${displaystyle iin I}$ y el ${displaystyle jin J}$. Así pues, ${displaystyle {e_{j}cdot l_{i}:jin J,iin I}}$ es una familia libre del ${displaystyle K}$-espacio vectorial ${displaystyle L}$, con lo cual es una base de ${displaystyle L}$ como K-espacio vectorial, y su cardinal es ${displaystyle dim _{K}(L)=dim _{E}(L)cdot dim _{K}(E)}$.

El grado de una extensión resulta muy útil para determinar si una extensión es algrebraica o trascendente.

Concluimos que toda extensión trascendente tiene grado infinito, y que toda extensión de grado finito es algebraica. Ahora bien, puede ocurrir que una extensión de grado infinito sea algebraica.