Fórmula de sumación de Abel

En matemáticas, la fórmula de sumación de Abel, definida por Niels Henrik Abel, es muy utilizada en teoría de números para calcular series.

Sea ${displaystyle a_{n},}$ una sucesión de números reales o complejos y ${displaystyle phi (x),}$ una función de clase ${displaystyle {mathcal {C}}^{1},}$, entonces la fórmula de sumación de Abel es

dónde

de hecho, esto es la integración por partes para una integral de Riemann–Stieltjes.

De forma más general, se tiene

Si ${displaystyle a_{n}=1,}$ y ${displaystyle phi (x)={frac {1}{x}},,}$ entonces ${displaystyle A(x)=lfloor x floor ,}$ y

la cual es una manera de representar la constante de Euler–Mascheroni.

Si ${displaystyle a_{n}=1,}$ y ${displaystyle phi (x)={frac {1}{x^{s}}},,}$ entonces ${displaystyle A(x)=lfloor x floor ,}$ y

Esta fórmula es válida para todo ${displaystyle s}$ con ${displaystyle Re (s)>1,.}$. Esta fórmula puede ser usada para demostrar el teorema de Dirichlet, que dice que ${displaystyle zeta (s),}$ tiene un polo simple con residuo 1 en ${displaystyle s=1}$

Si ${displaystyle a_{n}=mu (n),}$ es la función de Möbius y ${displaystyle phi (x)={frac {1}{x^{s}}},,}$ entonces ${displaystyle A(x)=M(x)=sum _{nleq x}mu (n),}$ es la función de Mertens y

Esta fórmula se cumple para ${displaystyle Re (s)>1,.}$

---