Espacio uniforme

En topología y análisis funcional, un espacio uniforme es un conjunto dotado de una estructura uniforme que permite estudiar conceptos como continuidad uniforme, completitud y convergencia uniforme.

La diferencia esencial entre un espacio topológico y un espacio uniforme está en que en un espacio uniforme, se puede formalizar la idea de "x₁ está tan lejos de x₂ como y₁ lo está de y ₂" mientras que en un espacio topológico se puede formalizar solamente que "un punto x está arbitrariamente cerca de un conjunto A" (es decir, en el cierre de A) o, tal vez, que "un entorno A de x es más pequeño que otro entorno B", pero la estructura topológica sola no da idea de la proximidad relativa entre los puntos.

Los espacios uniformes generalizan los espacios métricos y abarcan las topologías de los grupos topológicos y por lo tanto son la base de la mayor parte del análisis. Se deben a Henri Cartan y fueron introducidos a través de Bourbaki.

Existen tres definiciones equivalentes de espacio uniforme. Cada una de ellas difiere en el tipo de estructura con que se dota a un conjunto X para introducir el concepto de proximidad, pero los resultados que se obtienen son equivalentes.

Si ${displaystyle X}$ es un conjunto, una colección ${displaystyle Phi }$ no vacía de subconjuntos del producto cartesiano ${displaystyle X imes X}$ es llamada una estructura uniforme en ${displaystyle X}$ si se satisfacen los siguientes axiomas:

Un conjunto ${displaystyle X}$ junto con una estructura uniforme ${displaystyle Phi }$ se denomina un espacio uniforme. Los elementos de ${displaystyle Phi }$ se llaman entourages. Si se omite la segunda condición, se dice que el espacio es quasiuniforme.

La condición 5 se puede formalizar con la noción de encadenamiento o composición. Dados dos conjuntos V y U podemos componerlos en la forma ${displaystyle V}$ ° ${displaystyle U={(x,z)colon }$ existe ${displaystyle yin X}$, tal que ${displaystyle (x,y)in U,(y,z)in V}}$. Entonces, la condición 5 dice que para todo ${displaystyle Uin Phi }$, existe ${displaystyle Vin Phi }$ tal que ${displaystyle V}$ ° ${displaystyle Vsubseteq U}$.

Dado un punto ${displaystyle xin X}$ puede definirse el conjunto ${displaystyle U[x]={y:(x,y)in U}}$. En un gráfico esquemático, puede representarse un entourage como un área que abarque la diagonal "${displaystyle y=x}$"; cada conjunto ${displaystyle U[x]}$ sería entonces la sección vertical en la ordenada ${displaystyle y=x}$. Si ${displaystyle (x,y)in U}$, se dice que ${displaystyle x}$ e ${displaystyle y}$ son U-próximos. De la misma forma, si todos los pares de puntos de un conjunto ${displaystyle A}$ son U-próximos (es decir, si ${displaystyle A imes Asubseteq U}$), entonces se dice que ${displaystyle A}$ es U-pequeño.

Intuitivamente, dos puntos ${displaystyle x}$ e ${displaystyle y}$ son "cercanos" si el par ${displaystyle (x,y)}$ está contenido en muchos entourages. Un solo entourage captura un grado particular de "proximidad". Interpretados así, los axiomas significan lo siguiente:

Diremos que un entourage ${displaystyle U}$ es simétrico si siempre que ${displaystyle (x,y)in U}$ se verifica ${displaystyle (y,x)in U}$.

Un sistema fundamental de entourages de una estructura uniforme ${displaystyle Phi }$ es cualquier colección B de entourages de ${displaystyle Phi }$ tal que todo entourage de ${displaystyle Phi }$ contiene un conjunto perteneciente a B. Aplicando la condición 3 se concluye que un sistema fundamental de entourages B es suficiente para especificar sin ambigüedad la estructura uniforme: ${displaystyle Phi }$ es la colección de subconjuntos de ${displaystyle X imes X}$ que contienen un conjunto de B. Todo espacio uniforme tiene un sistema fundamental de entourages formado por entourages simétricos.

Una estructura uniforme ${displaystyle Phi }$ es más fina que otra estructura uniforme ${displaystyle Psi }$ sobre el mismo conjunto si ${displaystyle Psi subseteq Phi }$.

Alternativamente, los espacios uniformes pueden definirse de forma equivalente utilizando familias de pseudométricas, un enfoque que es a menudo útil en el análisis funcional, donde las pseudodistancias o pseudométricas pueden construirse a partir de seminormas. En este caso, la idea de "proximidad" está cuantificada por las pseudodistancias.

Más concretamente, sea ${displaystyle fcolon X imes Xlongrightarrow mathbb {R} _{geq 0}}$ una pseudodistancia en un conjunto ${displaystyle X}$. Se puede demostrar que las imágenes inversas ${displaystyle U_{a}=f^{-1}([0,a])}$ para ${displaystyle a>0}$ forman un sistema fundamental de entourages. Diremos que la estructura uniforme generada por dicho sistema está definida o determinada por ${displaystyle f}$.

Dada una familia ${displaystyle {f_{i}}}$ de pseudodistancias en ${displaystyle X}$, la estructura uniforme definida por la familia es el supremo de las estructuras uniformes definidas por las pseudodistancias individuales ${displaystyle f_{i}}$. Las intersecciones finitas de entourages de las estructuras definidas por dichas pseudodistancias proporcionan un sistema fundamental de entourages para la estructura uniforme definida por la familia de pseudométricas. Si la familia es finita, puede obtenerse la misma estructura uniforme a partir de una única pseudodistancia: la envolvente superior ${displaystyle sup{f_{i}}}$ de todas las pseudodistancias.

También puede demostrarse que una estructura uniforme que admite un sistema fundamental de entourages numerable (y, en particular, una estructura definida por una familia numerable de pseudométricas) puede definirse por una única pseudométrica. A partir de aquí, se llega a deducir que cualquier estructura uniforme puede definirse a partir de una familia (no necesariamente numerable) de pseudométricas.

Los espacios topológicos que se definen a partir de pseudométricas son denominados por algunos autores como espacios de calibración o gauge.

En el conjunto de recubrimientos de un conjunto X, se define una relación ${displaystyle leq ^{star }}$ de forma que dados dos recubrimientos ${displaystyle {mathfrak {P}}}$ y ${displaystyle {mathfrak {Q}}}$, decimos que ${displaystyle {mathfrak {P}}leq ^{star }{mathfrak {Q}}}$ si para todo ${displaystyle Ain {mathfrak {P}}}$ existe un ${displaystyle Uin {mathfrak {Q}}}$ tal para todo ${displaystyle Bin {mathfrak {P}}}$ que se interseque con ${displaystyle A}$ se verifica ${displaystyle Bsubseteq U}$.

A partir de ahí, puede definirse un espacio uniforme como un conjunto ${displaystyle X}$ dotado con una colección particular de recubrimientos de ${displaystyle X}$, formando un filtro bajo el orden ${displaystyle leq ^{star }}$.

Esto equivale a afirmar:

Dado un punto ${displaystyle x}$ y un recubrimiento uniforme ${displaystyle {mathfrak {P}}}$, se puede considerar la unión de elementos de ${displaystyle {mathfrak {P}}}$ a los que pertenece ${displaystyle x}$ como un entorno de ${displaystyle x}$ de "tamaño" ${displaystyle {mathfrak {P}}}$, y esta medida intuitiva se aplica uniformemente en todo el espacio.

Dada una colección de entourages, podemos decir que un recubrimiento ${displaystyle {mathfrak {P}}}$ es uniforme si existe un entourage ${displaystyle U}$ tal que para todo ${displaystyle xin X}$, existe ${displaystyle Ain {mathfrak {P}}}$ cumpliendo ${displaystyle U[x]subseteq A}$. Reciprocamente, dada una colección de recubrimientos uniformes, los conjuntos ${displaystyle cup {A imes A:Ain {mathfrak {P}}}}$, definidos para cada recubrimiento uniforme ${displaystyle {mathfrak {P}}}$, forman un sistema fundamental de entourages de una estructura uniforme. Estas dos transformaciones son inversas entre sí.

Todo espacio uniforme ${displaystyle X}$ se convierte en un espacio topológico definiendo un subconjunto ${displaystyle A}$ de ${displaystyle X}$ como abierto si y solamente si para cada ${displaystyle x}$ en ${displaystyle A}$ existe un entourage ${displaystyle V}$ tal que ${displaystyle V[x]}$ es un subconjunto de ${displaystyle A}$. La topología así definida se dice que está definida o determinada por la estructura uniforme. En esta topología, la colección de entornos de un punto ${displaystyle x}$ es ${displaystyle {V[x]:Vin Phi }}$. La existencia de una estructura uniforme hace posible la comparación de tamaño de entornos de puntos diferentes, al considerar que, para un entourage ${displaystyle V}$ fijado, los entornos ${displaystyle V[x]}$ y ${displaystyle V[y]}$ tienen el mismo tamaño.

Se dice que una estructura uniforme en un espacio topológico es compatible con la topología si la topología determinada por la estructura uniforme coincide con la topología de partida. En general, es posible que dos estructuras uniformes diferentes generen la misma topología en ${displaystyle X}$.

Se dice que un espacio topológico es uniformizable si existe una estructura uniforme compatible con la topología.

Todo espacio uniformizable es completamente regular y, reciprocamente, todo espacio completamente regular se puede convertir en un espacio uniforme (a menudo de muchas maneras) de modo que la topología inducida coincida con la dada.

Dado un espacio topológico completamente regular ${displaystyle X}$, se puede construir una estructura uniforme compatible seleccionando la estructura uniforme menos fina para la que todas las funciones continuas en ${displaystyle X}$ con valores reales son uniformemente continuas. Un sistema fundamental de entourages para esta estructura estará formado por todas las intersecciones finitas de conjuntos ${displaystyle (f imes f)^{-1}(V)}$, donde ${displaystyle f}$ es una función continua en ${displaystyle X}$ con valores reales y ${displaystyle V}$ es un entourage del espacio uniforme de los números reales ${displaystyle mathbb {R} }$.

Un espacio uniforme ${displaystyle X}$ es un espacio de Kolmogórov si y solamente si la intersección de todos los elementos de su estructura uniforme es igual a la diagonal ${displaystyle Delta _{X}={(x,x):xin X}}$. Si éste es el caso, ${displaystyle X}$ es de hecho un espacio de Tychonoff y, en particular, es de Hausdorff. La topología de un espacio uniformizable es siempre simétrica, es decir, dos puntos cualquiera distinguibles topológicamente están separados por entornos.

Una función o aplicación uniformemente continua entre dos espacios uniformes es aquella en la que las imágenes inversas de los entourages son entourage en el espacio origen. De forma equivalente, se puede decir, que una aplicación es uniformemente continua si las imágenes inversas de los recubrimientos uniformes son recubrimientos uniformes del espacio origen. Todas las aplicaciones uniformemente continuas son continuas en la topología determinada por la estructura uniforme.

Los espacios uniformes, junto con las aplicaciones uniformes, forman una categoría. Un isomorfismo en esta categoría se denomina isomorfismo uniforme. De la misma forma en que los homeomorfismos entre espacios topológicos preservan las propiedades topológicas, una propiedad que es preservada por las funciones uniformemente continuas entre espacios uniformes se denomina propiedad uniforme .

La noción de espacio métrico completo puede generalizarse de forma que se pueda aplicar también en espacios uniformes. Para ello, se utilizan filtros de Cauchy en las definiciones básicas, en lugar de sucesiones de Cauchy, .

Un filtro de Cauchy en un espacio uniforme ${displaystyle X}$ es un filtro ${displaystyle F}$ tal que, para todo entourage ${displaystyle U}$, existe ${displaystyle Ain F}$ cumpliendo ${displaystyle A imes Asubseteq U}$. En otras palabras, un filtro es de Cauchy si contiene conjuntos "arbitrariamente pequeños". Se deduce de las definiciones que todo filtro convergente (respecto a la topología determinada por la estructura uniforme) es un filtro de Cauchy.

Se dice que un espacio uniforme es completo si todo filtro de Cauchy es convergente.

Los espacios completos satisfacen la siguiente propiedad: Sea ${displaystyle A}$ un subconjunto denso en un espacio uniforme ${displaystyle X}$ y sea ${displaystyle Y}$ un espacio uniforme . Toda aplicación uniformemente continua ${displaystyle g:A ightarrow Y}$ puede extenderse de forma única a una aplicación uniformemente continua ${displaystyle f:X ightarrow Y}$. Un espacio topológico que puede dotarse con una estructura de espacio uniforme completo compatible con la topología se denomina espacio completamente uniformizable.

Al igual que sucede con los espacios métricos, todo espacio uniforme ${displaystyle X}$ tiene una compleción de Hausdorff. Es decir, existe un espacio uniforme completo de Hausdorff ${displaystyle Y}$ y una aplicación uniformemente continua ${displaystyle icolon X ightarrow Y}$ con la siguiente propiedad universal:

La compleción de Hausdorff ${displaystyle Y}$ es única salvo isomorfismos. Puede tomarse como conjunto ${displaystyle Y}$ la colección de filtros de Cauchy minimales (según la relación de inclusión) en ${displaystyle X}$ y como aplicación ${displaystyle i}$ la aplicación que hace corresponder a cada punto ${displaystyle x}$ la colección de entornos de ${displaystyle x}$ (la cual se puede demostrar que es un filtro minimal).

La estructura uniforme en ${displaystyle Y}$ se construye partiendo de la estructura uniforme en ${displaystyle X}$. Para cada entourage simétrico ${displaystyle V}$ en ${displaystyle X}$, sea ${displaystyle C(V)}$ el conjunto de todos los pares ${displaystyle (F,G)}$ de filtros de Cauchy minimales que tienen en común al menos un elemento de ${displaystyle V}$. Entonces, los conjuntos ${displaystyle C(V)}$ constituyen un sistema fundamental de entourages para la estructura uniforme requerida en ${displaystyle Y}$.

La aplicación ${displaystyle i}$ no es necesariamente inyectiva. De hecho, la gráfica de la relación de equivalencia ${displaystyle R}$, definida como ${displaystyle xRy}$ si y solo si ${displaystyle i(x)=i(y)}$ es la intersección de todos los entourages de ${displaystyle X}$. Por lo tanto, ${displaystyle i}$ es inyectiva si y solo si ${displaystyle X}$ es de Hausdorff.

El conjunto ${displaystyle i(X)}$ es un subconjunto denso de ${displaystyle Y}$. Si ${displaystyle X}$ es de Hausdorff, entonces ${displaystyle i}$ es un isomorfismo entre ${displaystyle X}$ y ${displaystyle i(X)}$, por lo que ${displaystyle X}$ puede identificarse con un subconjunto denso de su compleción. Además, ${displaystyle i(X)}$ siempre es de Hausdorff y se le denomina espacio uniforme de Hausdorff asociado con ${displaystyle X}$. El espacio cociente ${displaystyle X/R}$ es homeomorfo a ${displaystyle i(X)}$.

Antes de que André Weil diese la primera definición explícita de una estructura uniforme en 1937, conceptos asociados a la uniformidad, como la completitud, se trataban utilizando espacios métricos. Nicolas Bourbaki proporcionó la definición de estructura uniforme en términos de entourages en el libro Topologie Générale y John Tukey presentó la definición por recubrimientos uniformes. Weil también caracterizó los espacios uniformes en términos de una familia de pseudométricas.

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