Ecuación cuártica

En álgebra, una ecuación de cuarto grado o ecuación cuártica con una incógnita es una ecuación algebraica^[1]​ que asume la llamada forma canónica:

Ecuación de cuarto grado

${displaystyle ax^{4}+bx^{3}+{cx^{2}}^{}+dx+e=0;,quad a eq 0}$

donde a, b, c, d y e (siendo ${displaystyle a eq 0}$) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los racionales ${displaystyle mathbb {Q} }$ y ocasionalmente son los números reales o los complejos ${displaystyle mathbb {C} }$.

Sea K un cuerpo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas y por lo tanto también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces seguidas. En este cuerpo, es posible factorizar por todo a, y la identidad siguiente es válida: ${displaystyle (a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4},}$.^[2]​^[3]​

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

una raíz en el conjunto finito de los restos de enteros de módulo 11, o sea F[11] es

Mediante la división sintética queda ${displaystyle (x+1)(x^{3}-x^{2})-240=0}$^[4]​

Esta ecuación cuártica

que es unitaria, como polinomio para valores reales nunca se anula.

Por lo tanto sus cuatro raíces son complejas, en pares de conjugados. Precisamente la raíces quintas primitivas de la unidad. Estructuradas sobre la base de seno y coseno de ${displaystyle {frac {2pi }{5}}}$ radianes y sus múltiplos hasta el cuarto.^[5]​

Existen métodos resolutivos para resolver ecuaciones de cuarto grado, con los cuales podemos llegar a las soluciones de éstas, por lo que el conjunto de los números reales no es algebraicamente cerrado, resultando siempre en cuatro soluciones, comúnmente en dos soluciones reales y dos soluciones complejas conjugadas (pero no siempre puede resultar así). Se puede aproximar las soluciones de la ecuación con el método de Newton-Raphson, pero solo se obtendrá una de las soluciones reales, haciendo que este método resulte muy desventajoso por sus limitaciones en el contexto del cálculo infinitesimal.

Sea ${displaystyle P(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$ el polinomio al que se quiere hallar sus raíces cuyos coeficientes son enteros, consideremos a un factor lineal ${displaystyle Q(x)=qx-p}$ como uno de los divisores de dicho polinomio, donde es posible hallar un cociente ${displaystyle R(x)}$ de tercer grado que puede ser resuelto aplicando factorización nuevamente, o resolviéndolo por el método de Cardano (si dicho cociente cúbico es irreducible por factores racionales). Al efectuar la división de ${displaystyle P(x)}$ y ${displaystyle Q(x)}$, obtenemos el cociente ${displaystyle R(x)}$ dado por

cuyo residuo resultante es:

por lo que si ${displaystyle S(x)=0}$, entonces ${displaystyle x_{1}={frac {p}{q}}}$ es una raíz racional de ${displaystyle P(x)}$ y por tanto, es una división exacta. Sin embargo, si ${displaystyle S(x) eq 0}$, entonces ${displaystyle P(x)}$ es un polinomio irreducible, y se requiere resolverlo por métodos alternativos.

Sea la ecuación cuártica

Se reduce a la forma mónica dividiendo por ${displaystyle a}$:

donde

Su ecuación cúbica resolvente es:

que puede ser resuelta por el método de Cardano, donde ${displaystyle y}$ es considerada una raíz real de esta (sin importar si es una raíz real positiva o negativa), siendo de primera prioridad la primera raíz. No obstante, la naturaleza de las raíces de la ecuación cúbica resolvente determinará las soluciones de la ecuación original, considerando las siguientes posibilidades:

Una vez obtenemos la raíz positiva de la ecuación cúbica resolvente, calculamos los siguientes valores:

De estos valores, resolveremos dos ecuaciones cuadráticas:

Al resolverlas por la fórmula cuadrática, obtenemos las soluciones de la ecuación cuártica original:

Sea la ecuación cuártica

Dividimos la ecuación inicial por la componente cuártica, obtenemos:

Procedemos a realizar una transformación de Tschirnhaus, es decir, sustituir ${displaystyle x=w-{frac {b}{4a}},}$ para convertirla en su forma reducida:

cuyas componentes se dan por:

La ecuación cúbica resolvente del método de Descartes es:

No obstante, a diferencia de la ecuación cúbica resolvente del método de Ferrari, una de sus raíces reales debe ser positiva, con la que resolveremos dos ecuaciones cuadráticas:

Al resolverlas por la fórmula cuadrática, entonces las soluciones de la ecuación cuártica reducida son (ordenándolas por signos positivos y negativos):

Como el objetivo es encontrar las soluciones de la ecuación original, utilizamos la siguiente fórmula:

Por tanto, reemplazamos ${displaystyle w}$ en la fórmula para ${displaystyle n=1,2,3,4}$:

Por otro lado, si utilizamos las relaciones de Cardano-Vieta en las soluciones de la ecuación cuártica original, podemos tener las componentes cúbica, cuadrática, lineal y el término independiente en la ecuación original:

Éstas son un caso particular de las anteriores, cuya forma polinómica es:

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable ${displaystyle x^{2}=t}$, con lo que nos queda:

El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula cuadrática:

Ahora bien, esto no nos da las cuatro soluciones esperadas. Aún hemos de deshacer el cambio de variable, por lo que las cuatro soluciones serán dadas así:

Sea ${displaystyle x_{0}}$ una raíz cuyo valor se conoce:

Las otras raíces son:

El siguiente tipo de ecuación

puede ser resuelto así:

Al dividir la ecuación por ${displaystyle x^{2}}$, se obtiene

Haciendo cambio de variable:

llegamos a

así:

Esta ecuación da 2 raíces, ${displaystyle z_{1}}$ y ${displaystyle z_{2}}$.

Las raíces de la ecuación original pueden ser obtenidas resolviendo las siguientes ecuaciones cuadráticas:

Si ${displaystyle a_{0}}$ no es igual a uno en ${displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{0}m^{2}=0,}$, este método es de todas formas aplicable, luego de dividir la ecuación entre ${displaystyle a_{0}}$.

Las ecuaciones cuasisimétricas poseen la siguiente propiedad, que, por otra parte, las define: si ${displaystyle x_{1}}$, ${displaystyle x_{2}}$, y ${displaystyle x_{3}}$,${displaystyle x_{4}}$ son las raíces de la ecuación, entonces ${displaystyle x_{1}x_{2}=m}$. Dado que el producto de las 4 raíces es ${displaystyle m^{2}}$, entonces ${displaystyle x_{3}x_{4}=m}$ necesariamente.

Tienen la forma ${displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0}$ con a ≠ 0. Todos los coeficientes son números racionales.

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