Cierre convexo

En matemáticas se define la envolvente convexa, envoltura convexa o cápsula convexa de un conjunto de puntos X de dimensión n como la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a X.^[1]​

Dados k puntos ${displaystyle x_{1},,x_{2},,...,x_{k}}$ su envolvente convexa C viene dada por la expresión:

${displaystyle C(X)=left{sum _{i=1}^{k}alpha _{i}x_{i} {Bigg |} x_{i}in X,,alpha _{i}in mathbb {R} ,,alpha _{i}geq 0,,sum _{i=1}^{k}alpha _{i}=1 ight}}$

En el caso particular de puntos en un plano, si no todos los puntos están alineados, entonces su envolvente convexa corresponde a un polígono convexo cuyos vértices son algunos de los puntos del conjunto inicial de puntos.

Una forma intuitiva de ver la envolvente convexa de un conjunto de puntos en el plano, es imaginar una banda elástica estirada que los encierra a todos. Cuando se libere la banda elástica tomará la forma de la envolvente convexa.

La unión de todas las combinaciones convexas de conjuntos finitos de puntos de ${displaystyle Asubset R^{n}}$ se denomina cápsula convexa de ${displaystyle A}$.^[2]​

La cápsula convexa de un conjunto coincide con la unión de todas las combinaciones convexas posibles de subconjuntos finitos del conjunto ${displaystyle Asubset R^{n}}$ que tienen a lo más ${displaystyle n+1}$ puntos.^[2]​

En geometría computacional existen numerosos algoritmos para calcular la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos, con diversos grados de complejidad computacional. La complejidad del algoritmo de resolución se suele estimar en función del número n de puntos de entrada, y el número h de puntos de la correspondiente envolvente convexa.

Convexidad

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