Característica de Euler
En matemática y, en particular, en topología algebraica, la característica de Euler o característica de Euler-Poincaré es un invariante topológico, un número definido que sirve para describir la forma o la estructura de una clase de espacios topológicos. Es denotada generalmente por (la letra griega Ji). La característica de Euler fue definida en un principio solo para poliedros y sirvió para demostrar algunos teoremas como la clasificación de los sólidos platónicos. Su nombre se refiere a Leonhard Euler, que fue el responsable de los primeros resultados.
La característica de Euler de un politopo de tres dimensiones (poliedro) se puede calcular usando la fórmula siguiente:
donde V, A y C son los números de vértices, de aristas y de caras, respectivamente. En particular, para cualquier poliedro homeomorfo a una esfera tenemos
Por ejemplo, para un cubo tenemos 6 + 8 - 12 = 2 y para un tetraedro tenemos 4 + 4 - 6= 2. La fórmula anterior también se llama la fórmula de Euler, que se puede demostrar por inducción matemática o mapeos sobre una esfera.
Otros ejemplos se pueden encontrar en la siguiente tabla
Un poliedro que no sea homeomorfo a una esfera, como el Poliedro toroidal de la figura, que tiene 48 caras, 22 vértices y 70 aristas obtendremos 22 - 70 + 48 = 0.
Tabla con las característica de Euler de otros poliedros
Una superficie compacta como la esfera, el toro, el bi-toro, un disco con borde, etc. surgen de deformar de forma continua un poliedro. Por ejemplo, si deformamos un icosaedro hasta obtener una esfera las aristas se transformarán en curvas sobre la esfera, las caras serán "triángulos" y los vértices serán puntos sobre las mismas. Así la esfera quedará "triangulada" (Véase triangulación). Para definir la característica de una superficie se usaran estas triangulaciones realizando la fórmula análoga χ(S) = Triángulos - Lados + Vértices. En realidad las triangulaciones no deben ser hechas necesariamente con triángulos, sino con cualquier polígono, teniendo en cuenta que dos polígonos solo compartan una arista como máximo, y que, si comparten un lado, solo compartan los dos vértices de ese lado. Así la generalización de la característica de Euler para una superficie cerrada S es
La característica de Euler de superficies orientadas cerradas se relaciona con su género g, que es un número que describe la cantidad de «asas» que tiene la superficie. La relación es dada por:
Por ejemplo: El toro (la rosquilla) tiene una asa y por lo tanto .
Para un CW-complejo finito y en particular para un complejo simplicial finito, la característica de Euler se puede definir como la suma alternada
donde ki denota el número de células de dimensión i.
Entonces, se puede definir la característica de Euler de una variedad como la característica de Euler de un complejo simplicial homeomorfo a él. Por ejemplo, el círculo y el toro tienen característica de Euler 0 y las bolas sólidas tienen característica de Euler 1.
La característica de Euler es independiente de la triangulación. La fórmula se puede también utilizar para las descomposiciones en polígonos arbitrarios.
Para las variedades cerradas, la característica de Euler coincide con el número de Euler, es decir, la clase de Euler de su fibrado tangente evaluado en la clase fundamental de la variedad.
Para las variedades de Riemann cerradas, la característica de Euler puede encontrarse también integrando la curvatura -- vea el teorema de Gauss-Bonnet para el caso de dos dimensiones y el teorema de Gauss-Bonnet generalizado para el caso general. Un análogo discreto del teorema de Gauss-Bonnet es el teorema de Descartes que el "defecto total" de un poliedro, medido en círculos completos, es la característica de Euler del poliedro; vea defecto (geometría).
Más generalmente aún, para cualquier espacio topológico, podemos definir el n-ésimo número de Betti bn como el rango del n-ésimo grupo de homología. La característica de Euler se puede entonces definir como la suma alternada
Esta definición tiene sentido si los números de Betti son todos finitos y cero más allá de cierto índice n0.
Dos espacios topológicos que son equivalentes homotópicos tienen grupos isomorfos de homología y por lo tanto la misma característica de Euler.
De esta definición y la dualidad de Poincaré, se sigue que la característica de Euler de cualquier variedad cerrada de dimensión impar es cero.
Si M y N son espacios topológicos, entonces la característica de Euler de su producto M × N es
El concepto de característica de Euler de un poset finito acotado es otra generalización, importante en combinatoria. Un poset es acotado si tiene elementos mínimos y máximos, que podemos llamar 0 y 1. La característica de Euler de tal poset es μ(0,1), donde μ es la función de Möbius en el álgebra de incidencia de ese poset.