Cúbica de Tschirnhausen

En geometría, la cúbica de Tschirnhausen^[1]​ o cúbica de Tschirnhaus es una curva plana definida (en su forma de apertura a la izquierda) por la ecuación polar

donde sec es la función secante).

La curva fue estudiada por von Tschirnhaus, L'Hôpital y Catalan. R.C. Archibald le dio el nombre de cúbica de Tschirnhausen en un artículo de 1900, aunque a veces se le conoce como cúbica de L'Hôpital o trisectriz de Catalan.

Sea ${displaystyle t= an( heta /3)}$. Luego, aplicando las fórmulas del ángulo triple, se obtiene

dando una forma paramétrica para la curva.^[1]​ El parámetro t se puede eliminar fácilmente, obteniéndose la ecuación cartesiana

Si la curva se desplaza en horizontal 8a y los signos de las variables se cambian, las ecuaciones de la curva con la apertura a la derecha resultante son

y en coordenadas cartesianas

Esto da la forma polar alternativa

La cúbica de Tschirnhausen es una espiral sinusoidal con n=−1/3

En 1682, Von Tschirnhaus elaboró la teoría de las catacáusticas y demostró que eran rectificables. Este fue el segundo caso en el que se determinó la envolvente de un conjunto de tangentes determinado dinámicamente, dando origen a la cúbica de Tschirnhausen.^[2]​

Las cáusticas de una parábola, cuando la fuente de luz está en el infinito, son cúbicas de Tschirnhausen. La cáustica se reduce a un punto, el foco de la parábola, cuando la dirección de la fuente está situada en el eje de la parábola.^[3]​

La cáustica es la envolvente de los rayos reflejados por el interior de una parábola. Para representarla gráficamente, es necesario determinar la tangente a una serie de puntos de la parábola, trazando a continuación la normal desde el punto de tangencia hacia el interior de la parábola. Los rayos que forman la cáustica se determinan trazando rayos simétricos al rayo incidente en cada punto respecto a la recta normal previamente calculada.

La la cúbica de Tschirnhausen puede utilizarse como trisectriz.^[4]​ Como se ha visto anteriormente, cuando ${displaystyle a=1}$ tiene la propiedad de que

es posible determinar gráficamente la tangente de ${displaystyle alpha /3}$ de un ángulo arbitrario ${displaystyle alpha }$ dado, teniendo en cuenta que:

De acuerdo con la imagen adjunta, la construcción tiene tres pasos:

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