Base (topología)

En matemáticas, una base β de un espacio topológico X con topología T, es una colección de abiertos de T que verifica que todo abierto de la topología T puede expresarse como unión de los elementos de β.^[1]​

Decimos que la base genera la topología T y a los elementos de β les llamamos abiertos básicos. Las bases son de gran utilidad, pues muchas propiedades de las topologías pueden reducirse a afirmaciones sobre una base que genere dicha topología.

Una familia arbitraria de subconjuntos no formará a priori una base de ninguna topología, para hacerlo deberá reunir una serie de requisitos.

Existe un modo alternativo de generar una topología a partir de una familia arbitraria de subconjuntos, usando intersecciones finitas además de las uniones arbitrarias. En ese caso, la familia de subconjuntos recibe el nombre de subbase.

Decimos que β es base de la topología T sólo si para todo punto p contenido en un abierto U existe un elemento ${displaystyle Bin eta :pin Bsubset U}$ y ${displaystyle B}$ es un abierto en la topología.^[2]​

Ya comentamos que una familia arbitraria de subconjuntos no formará una base. Será interesante disponer de un criterio para decidir si la forman o no.

Una familia β no vacía de subconjuntos de X formará la base de alguna topología si se cumple:

En topología, una subbase para un espacio topológicio X con topología T, es una subcolección B de T la cual genera a T, en el sentido que T es la topología más pequeña que contiene a B. Una definición levemente diferente es usada por algunos autores y existen otras formulaciones equivalentes, muy útiles, de la definición; estas son discutidas a continuación.

Sea X un espacio topológico con topología T. Una subbase de T es usualmente definida como una subcolección B de T que satisface una de las dos siguientes condiciones equivalentes:

Explícitamente, dado un punto x en un conjunto abierto propio U (vecindad de x) existe un número finito de conjuntos S₁, …, S_n de B, tales que la intersección de estos conjuntos contiene a x y está contenida en U.

(Note que si usamos la definición de intersección no vacía, entonces no es necesario incluir X en la segunda definición).

Para alguna subcolección S del conjunto de partes P(X), existe una única topología que tiene a S como una subbase. En particular, la intersección de todas las topologías en X que contiene a S satisface esta condición. En general no existe una única subbase para una topología dada.

Por lo tanto, podemos comenzar con la topología fija y encontrar subbases para dicha topología, y podemos también comenzar con una subcolección arbitraria del conjunto de partes P(X) y formar la topología generada por esa subcolección. Podemos libremente usar cualquiera de las definiciones equivalentes dadas anteriormente; ciertamente en muchos casos, una de las dos condiciones es más útil que la otra.

Algunas veces se da una definición levemente diferente de subbase, la cual requiere que la subbase B recubra a X. En este caso, X es un conjunto abierto en la topología generada porque es la unión de todos los {B_i} mientras B_i varia sobre B. Esto significa que no pueden existir confusiones referentes al uso de la intersección no vacía, en la definición.

Sin embargo, con esta definición, las dos definiciones anteriores, no siempre son equivalentes. En otras palabras, existen espacios X con topología T, tales que existe una subcolección B de T, tal que T es la topología más pequeña que contiene a B, donde B no cubre a X todavía. En la práctica, es una rara ocurrencia; una subbase de un espacio que satisface el T₁ debe ser una cobertura de este espacio.

La topología usual en los números reales R tiene una subbase formada por todos los intervalos abiertos semi-infinitos bien sea de la forma (−∞,a) o (b,∞) donde a y b son números reales. Juntos generan la topología usual desde las intersecciones ${displaystyle (a,b)=(-infty ,b)cap (a,infty )}$ para a < b genera la topología usual. Una segunda subbase se forma tomando la subfamilia donde a y b son racionales. La segunda subbase genera la topología usual también, desde los intervalos abiertos (a,b) con a, b racionales, son una base para la topología usual Euclidiana.

La subbase formada por todos los intervalos abiertos semi-infinitos de la forma (−∞,a), donde a es un número real, que no genera la topología usual. La topología resultante no satisface el axioma T₁ de separación, desde todos los conjuntos abiertos que tienen una intersección no vacía.

La topología inicial definida por la familia de funciones f_i: X → Y_i, donde cada Y_i tiene una topología, es la topología más gruesa en X, tal que cada f_i es continua; ya que la continuidad puede ser definida por las imágenes inversas de los conjuntos abiertos; esto significa que la topología más débil en X es dada tomando todas las f_i⁻¹(U_i), donde U_i varia en todo el conjunto abierto de Y_i, como una subbase.

Dos casos especiales muy importantes de la topología inicial son la topología del producto, donde la familia de funciones es el conjunto de proyecciones desde el producto a cada factor, y el subespacio topologíco, donde la familia consta de solo una función, la función de inclusión.

La topología compacta abierta, en el espacio de funciones continuas de X a Y tiene por subbase el conjunto de funciones

donde K es un espacio compacto y U es abierto en Y.

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